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x有邻域包含在B中
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x是B的内点，
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因此 ▎
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命题1.5 （1）若A⊂B，则
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（2）是所有包含A的闭集的交集，所以是包含A的最小的闭集；
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（3）是闭集；
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（4）
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（5）
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证明留给读者．（可用命题1.3的结果，或用其方法．）
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聚点的概念在欧氏空间中早已出现．要注意现在的推广概念在意义上已发生一些改变．欧氏空间中集合A的聚点的近旁确实聚集了A的无穷多个点，因此有限集是没有聚点的．而在拓扑空间中则不然．例如设X＝｛a，b，c｝，规定拓扑为τ＝｛X，∅，｛a｝｝，则当A＝｛a｝时，b和c都是A的聚点，因为b或c的邻域只有X一个，它包含a．a不是A的聚点，因为A｛a｝＝∅．
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拓扑空间X的子集A称为稠密的，如果如果X有可数的稠密子集，则称X是可分拓扑空间．
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例如，（R，τf）是可分的，事实上它的任一无穷子集都是稠密的，有理数集Q是它的一个可数稠密子集；（R，τc）不是可分的，因为它的任一可数集都是闭集，不可能稠密．
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4．序列的收敛性
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在数学分析中，序列收敛的概念是很基本的．拓扑空间中也可推广这个概念，但它失去了一些重要的性质．
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设x1，x2，…，xn，…（或简单地记作｛xn｝）是拓扑空间X中点的序列，如果点x0∈X的任一邻域U都包含｛xn｝的几乎所有项（即只有有限个xn不在U中；或存在正整数N，使得当n＞N时，xn∈U），则说｛xn｝收敛到x0，记作xn→x0．
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拓扑空间中的序列可能收敛到多个点．例如（R，τf）中，只要序列｛xn｝的项两两不同，则任一点x∈R的邻域（必是有限集的余集）包含｛xn｝的几乎所有项，从而xn→x．
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数学分析中，当点x是集合A的聚点时，则A中有序列收敛到x．在拓扑空间中这一性质不再成立．例如在（R，τc）中，xn→x对几乎所有n，xn＝x（习题13）．设A是一个不可数真子集，于是（因为包含A的闭集只有R）．取则x是A的聚点，但A中任一序列不可能收敛到x．
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由于拓扑空间中的序列收敛性出现这些不正常现象，它也就失去了重要性．
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1.4 子空间