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存在X中开集U,使得C=Uc∩A
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C是X中一个闭集与A之交集. ▎
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命题1.7 设X是拓扑空间,B⊂A⊂X,则
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(1)若B是X的开(闭)集,则B也是A的开(闭)集;
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(2)若A是X的开(闭)集,B是A的开(闭)集,则B也是X的开(闭)集.
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证明 (1)B=B∩A,因此当B是X的开(闭)集时,根据子空间拓扑的定义(命题1.6),B也是A的开(闭)集.
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(2)设B是A的开(闭)集,根据子空间拓扑的定义(命题1.6),存在X的开(闭)集U,使得B=U∩A.而A也是X中开(闭)集,因此B是X的开(闭)集. ▎
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习 题
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1.写出集合X={a,b}的所有拓扑.
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2.设X={x,y,z}.X的下列子集族是不是拓扑?如果不是,请添加最少的子集,使它成为拓扑.
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(1){X,∅,{x},{y,z}};
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(2){X,∅,{x,y},{x,z}};
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(3){X,∅,{x,y},{x,z},{y,z}}.
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3.规定实数集R上的子集族τ={(-∞,a)|-∞≤a≤+∞}(a=-∞,则(-∞,a)表示∅;a=+∞,则(-∞,a)=R).证明τ是R上的一个拓扑.
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4.设τ是X上的拓扑,A是X的一个子集,规定
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τ′={A∪U|U∈τ}∪{∅}.
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证明τ′也是X上的拓扑.
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5.设τ1,τ2都是X上的拓扑,证明τ1∩τ2也是X上的拓扑.
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6.E2的子集求
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7.R上规定第3题中的拓扑,子集A={0},求
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8.在度量空间中,记B[x0,ε]={x∈X|d(x,x0)≤ε}.证明B[x0,ε]是闭集.举例说明不一定成立.
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