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9.设A和B都是拓扑空间X的子集,并且A是开集.证明
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10.设A1,A2,…,An都是X的闭集,并且证明B⊂X是X的闭集B∩Ai是Ai(i=1,2,…,n)的闭集.
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11.设Y是拓扑空间X的子空间,A⊂Y,x∈Y.证明:在X中,x是A的聚点在Y中,x是A的聚点.
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12.设X是拓扑空间,B⊂A⊂X.记分别为B在A中的闭包和内部.别为B在X中的闭包和内部.证明
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(1)
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(2)
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(3)如果A是X的开集,则
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13.设{xn}是(R,τc)中的一个序列.证明:xn→x存在正整数N,使得当n>N时,xn=x.
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14.设τ是第3题中的拓扑,证明(R,τ)是可分的.
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15.证明:A是拓扑空间X的稠密子集X的每个非空开集与A相交非空.
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16.若A是X的稠密子集,B是A的稠密子集,则B也是X的稠密子集.
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17.若A和B都是X的稠密子集,并且A是开集,则A∩B也是X的稠密子集.
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§2 连续映射与同胚映射
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连续映射是拓扑学中另一个最基本的概念和研究对象.
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2.1 连续映射的定义
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和分析学中一样,连续性是一种局部性概念.
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定义1.6 设X和Y都是拓扑空间,f:X→Y是一个映射,x∈X.如果对于Y中f(x)的任一邻域V,f-1(V)总是x的邻域,则说f在x处连续.
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容易看出,如果把定义中“任一邻域V”改成“任一开邻域V”(即包含f(x)的任一开集V),那么定义的意义不变.因此f在点x处连续也就是“对包含f(x)的每个开集V,必存在包含x的开集U,使得f(U)⊂V”,这就是§1中连续性定义的开集语言.
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命题1.8 设f:X→Y是一映射,A是X的子集,x∈A.记fA=f|A:A→Y是f在A上的限制,则
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(1)如果f在x连续,则fA在X也连续;
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