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证明 （1）（2）设V是Y的开集，U＝f-1（V）．∀x∈U，V是f（x）的邻域，由于f在x连续，x是U的内点．由x的任意性，是开集．
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（2）（3）设f是Y的闭集，则fc是开集，因此f-1（fc）是X的开集．于是f-1（f）＝（f-1（fc））c是X的闭集．
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（3）（1）要说明f在任一点x∈X处连续．设V是f（x）的邻域，U＝f-1（V）．因为是开集（闭集的原像是闭集），且所以U是x的邻域．由定义，f在x连续． ▎
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虽然拓扑空间中也有序列收敛的概念，但不能用它来刻画连续性．事实上，如果f：X→Y在x∈X处连续，则当xn→x时，必有f（xn）→f（x）（习题6）．但逆命题不成立．例如设f：X→Y是单映射，其中X是具有余可数拓扑的不可数空间，Y是离散拓扑空间．于是，当X中序列xn→x时，对充分大的n，有xn＝x，从而f（xn）→f（x）．但f在x并不连续，｛f（x）｝是f（x）的邻域，但其原像为｛x｝（因为f是单的），并不是x的邻域．
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2.2 连续映射的性质
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先指出几个简单而常见的连续映射．
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显然，恒同映射id：X→X（即id（x）＝x，∀x∈X）是连续映射．
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设A是X的子空间，记i：A→X是包含映射（即i（a）＝a，∀a∈A），则i是连续映射，因为当U是X的开集时，i-1（U）＝A∩U是A的开集．
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如果f：X→Y是常值映射，即f（X）是Y中一点y0，则f连续，因为f-1（V）＝X（若y0∈V），或f-1（V）＝∅（若）．
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如果X是离散拓扑空间，或Y是平凡拓扑空间，则f：X→Y一定是连续的．
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命题1.9 设X，Y和Z都是拓扑空间，映射f：X→Y在x处连续，g：Y→Z在f（x）处连续，则复合映射gf：X→Z在x处连续．
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证明 （gf）（x）＝g（f（x））．对于它的任一邻域W，由于g在f（x）处连续，g-1（W）是f（x）的邻域；又由于f在x处连续，f-1（g-1（W））＝（gf）-1（W）是x的邻域．这就证明了结论． ▎
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由此命题推出，两个连续映射的复合也是连续映射．用此结论可给出命题1.8中（1）的另一个证明．f在A上的限制fA＝fi，由f和i的连续得到fA连续．
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设⊂2X是拓扑空间X的子集族，称是X的一个覆盖，如果（即∀x∈X至少包含在的一个成员中）．如果覆盖的每个成员都是开（闭）集，则称为开（闭）覆盖；覆盖只包含有限个成员时，称是有限覆盖．
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定理1.2（粘接引理） 设｛A1，A2，…，An｝是X的一个有限闭覆盖．如果映射f：X→Y在每个Ai上的限制都是连续的，则f是连续映射．
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