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证明 只要验证Y的每个闭集的原像是闭集．设B是Y的闭集，记是f在Ai上的限制，则
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∀i，是连续的，因此是Ai的闭集．又因为Ai是X的闭集，所以也是X的闭集（命题1.7中（2））．f-1（B）作为有限个闭集的并集也是闭集． ▎
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粘接引理是判断映射连续性的一种有效方法，它还是分片地构造连续映射的依据．
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2.3 同胚映射
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定义1.8 如果f：X→Y是一一对应，并且f及其逆f-1：Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射，或称拓扑变换，或简称同胚．当存在X到Y的同胚映射时，就称X与Y同胚，记作
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值得提醒的是同胚映射中条件f-1连续不可忽视，它不能从一一对应和f连续推出．例如设S1是复平面上的单位圆周，规定f：［0，1）→S1为f（t）＝ei2πt．则f是一一对应，并且连续，但f-1不连续．譬如是［0，1）的开集，但是是包含1的上半圆，1不是它的内点，因此不是开集（图1-2）．
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图1-2
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在全体拓扑空间集合内的同胚关系是一个等价关系，其自反性、对称性与传递性分别基于以下明显事实：恒同映射id：X→X是同胚映射；如果f是同胚映射，则f-1也是同胚映射；两个同胚映射的复合也是同胚映射．
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现在举几个同胚映射的例子．
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例1 开区间（作为E1的子空间）同胚于E1．
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如到E1的同胚映射f可规定为：
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f（x）＝tanx，
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例2 En中的单位球体Dn：＝｛x∈En｜‖x‖②≤1｝的内部同胚于En．同胚映射可规定为：它的逆映射为：
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∀y∈En．
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