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6.E2的子集求
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7.R上规定第3题中的拓扑,子集A={0},求
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8.在度量空间中,记B[x0,ε]={x∈X|d(x,x0)≤ε}.证明B[x0,ε]是闭集.举例说明不一定成立.
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9.设A和B都是拓扑空间X的子集,并且A是开集.证明
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10.设A1,A2,…,An都是X的闭集,并且证明B⊂X是X的闭集B∩Ai是Ai(i=1,2,…,n)的闭集.
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11.设Y是拓扑空间X的子空间,A⊂Y,x∈Y.证明:在X中,x是A的聚点在Y中,x是A的聚点.
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12.设X是拓扑空间,B⊂A⊂X.记分别为B在A中的闭包和内部.别为B在X中的闭包和内部.证明
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(1)
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(2)
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(3)如果A是X的开集,则
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13.设{xn}是(R,τc)中的一个序列.证明:xn→x存在正整数N,使得当n>N时,xn=x.
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14.设τ是第3题中的拓扑,证明(R,τ)是可分的.
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15.证明:A是拓扑空间X的稠密子集X的每个非空开集与A相交非空.
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16.若A是X的稠密子集,B是A的稠密子集,则B也是X的稠密子集.
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17.若A和B都是X的稠密子集,并且A是开集,则A∩B也是X的稠密子集.
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§2 连续映射与同胚映射
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连续映射是拓扑学中另一个最基本的概念和研究对象.
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2.1 连续映射的定义
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