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对于子空间A的子集U，笼统地说U是不是开集意义就不明确了，必须说明在A中看还是在全空间中看，这两者是不同的．例如，E1是E2的子空间，开区间（0，1）在E1中是开集，而在E2中不是开集．因此开集概念是相对概念．同样，闭集、邻域、内点、内部、聚点和闭包等等概念也都是相对概念．
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命题1.6 设X是拓扑空间，C⊂A⊂X，则C是A的闭集C是A与X的一个闭集之交集．
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证明 C是A的闭集AC是A的开集
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存在X中开集U，使得AC＝U∩A
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存在X中开集U，使得C＝Uc∩A
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C是X中一个闭集与A之交集． ▎
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命题1.7 设X是拓扑空间，B⊂A⊂X，则
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（1）若B是X的开（闭）集，则B也是A的开（闭）集；
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（2）若A是X的开（闭）集，B是A的开（闭）集，则B也是X的开（闭）集．
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证明 （1）B＝B∩A，因此当B是X的开（闭）集时，根据子空间拓扑的定义（命题1.6），B也是A的开（闭）集．
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（2）设B是A的开（闭）集，根据子空间拓扑的定义（命题1.6），存在X的开（闭）集U，使得B＝U∩A．而A也是X中开（闭）集，因此B是X的开（闭）集． ▎
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习 题
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1．写出集合X＝｛a，b｝的所有拓扑．
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2．设X＝｛x，y，z｝．X的下列子集族是不是拓扑？如果不是，请添加最少的子集，使它成为拓扑．
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（1）｛X，∅，｛x｝，｛y，z｝｝；
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（2）｛X，∅，｛x，y｝，｛x，z｝｝；
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（3）｛X，∅，｛x，y｝，｛x，z｝，｛y，z｝｝．
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3．规定实数集R上的子集族τ＝｛（－∞，a）｜－∞≤a≤＋∞｝（a＝－∞，则（－∞，a）表示∅；a＝＋∞，则（－∞，a）＝R）．证明τ是R上的一个拓扑．
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4．设τ是X上的拓扑，A是X的一个子集，规定
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τ′＝｛A∪U｜U∈τ｝∪｛∅｝．
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证明τ′也是X上的拓扑．
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5．设τ1，τ2都是X上的拓扑，证明τ1∩τ2也是X上的拓扑．
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