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研究拓扑空间的同胚分类问题是拓扑学的一个基本问题．拓扑性质对它起了重要作用．例如（R，τf）是可分的，（R，τc）不是可分的，从而它们不同胚．
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习 题
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1．设f：X→Y是映射，证明下列条件互相等价：
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（1）f是连续映射；
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（2）对X的任何子集A，
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（3）对Y的任何子集B，
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2．设B是Y的子集，i：B→Y是包含映射，f：X→B是一映射，证明f连续if：X→Y连续．
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3．若f：X→Y是同胚映射，A⊂X，则f｜A：A→Y是嵌入映射．
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4．证明下列几个空间互相同胚：
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（1）X1＝E2\｛O｝；
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（2）X2＝｛（x，y，z）∈E3｜x2＋y2＝1｝；
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（3）单叶双曲面X3＝｛（x，y，z）∈E3｜x2＋y2－z2＝1｝．
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5．X的覆盖称为局部有限的，如果∀x∈X有邻域只与中有限个成员相交．设是X的一个局部有限闭覆盖，映射f：X→Y在每个C∈上的限制fc连续，则f连续．
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6．设f：X→Y在x∈X处连续，序列xn→x，则
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f（xn）→f（x）．
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7．设f：X→Y是满的连续映射，其中X是可分的．证明Y也是可分的．
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8．证明恒同映射id：（R，τc）→（R，τf）是连续映射，但不是同胚映射．
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9．规定f：E1\［0，1）→E1为
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证明f是连续映射，但不是同胚映射．
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10．映射f：X→Y称为开（闭）映射，如果f把X的开（闭）集映为Y的开（闭）集．举例说明开映射不一定是闭映射；闭映射也不一定是开映射．