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例3 En｛O｝EnDn（O为原点）．
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图1-3
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规定f：En｛O｝→EnDn为其几何意义为每一点背向原点O移动单位长，则f是一一对应，并且连续．f-1是每一点朝O移动单位长，也是连续的（图1-3）．
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例4 球面S2③去掉一点后与E2同胚．球极投射就是把去掉北极点的球面映射到赤道平面的一个同胚映射（见图1-4），它的分析表达式为
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图1-4
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例5 任何凸多边形（包含内部）都互相同胚．
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以一个五边形ABCDE与三角形A′B′C′为例，同胚映射可规定如下：连结BD和BE，在A′C′上取两点E′和D′，连结B′D′和B′E′．于是五边形和三角形都被分割为三个三角形．它们分别记作X1，X2，X3和Y1，Y2，Y3（见图1-5）．由相应点对的对应关系（A到A′等等），建立仿射变换fi，把Xi变为Yi（i＝1，2，3）．它们在公共部分（线段BD或BE）上是一致的，因此可用它们规定ABCDE到A′B′C′的一一对应f．根据粘接引理，f和f-1都是连续的．
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图1-5
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例6 凸多边形与D2同胚．
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因为凸多边形都是互相同胚的，只须证一个特殊的凸多边形与D2同胚．如图1-6中的四边形ABCD．
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由给出△OAB到扇形OAB的同胚映射．利用这个同胚和图形的对称性容易建立其他三个三角形到相应扇形的同胚映射．这四个同胚映射拼接成四边形ABCD到圆O的同胚．
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图1-6
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如果f：X→Y是单的连续映射，并且f：X→f（X）是同胚映射，就称f：X→Y是嵌入映射．例如，包含映射i：A→X是嵌入映射．
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有了同胚映射（拓扑变换）的概念，就可像引言中那样规定拓扑性质概念了．
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定义1.9 拓扑空间的在同胚映射下保持不变的概念称为拓扑概念，在同胚映射下保持不变的性质叫拓扑性质．
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当f：X→Y是同胚映射时，X的每个开集U的f像f（U）是Y的开集，而Y的开集V的f原像是X的开集．因此开集概念在同胚映射下是保持不变的，它是拓扑概念，由它规定的闭集、闭包、邻域、内点等等概念都是拓扑概念．用开集或其派生的拓扑概念来刻画的性质都是拓扑性质．例如可分性是拓扑性质．
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