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证明f是连续映射，但不是同胚映射．
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10．映射f：X→Y称为开（闭）映射，如果f把X的开（闭）集映为Y的开（闭）集．举例说明开映射不一定是闭映射；闭映射也不一定是开映射．
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11．如果f：X→Y是一一对应，则f是开映射f是闭映射f-1连续．
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12．设（X，d）是度量空间，A是X的非空闭集．规定f：X→E1为f（x）＝d（x，A）＝inf｛d（x，a）｜a∈A｝．证明f连续，并且
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f（x）＝0x∈A．
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13．设（R，τ）是§1第3题规定的拓扑空间，f：（R，τ）→E1连续，则f是常值映射．
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基础拓扑学讲义 [:1701040202]
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§3 乘积空间与拓扑基
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设是X的一个子集族，规定新子集族
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是中若干成员的并集｝
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＝｛U⊂X｜∀x∈U，存在B∈，使得x∈B⊂U｝．称为所生成的子集族．显然
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设X1和X2是两个集合，记X1×X2为它们的笛卡儿积：
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X1×X2＝｛（x1，x2）｜xi∈Xi｝．
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规定ji：X1×X2→Xi为ji（x1，x2）＝xi（i＝1，2），称ji为X1×X2到Xi的投射．如果Ai⊂Xi（i＝1，2），则A1×A2⊂X1×X2．容易验证：当Ai⊂Xi，Bi⊂Xi（i＝1，2）时，
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（A1×A2）∩（B1×B2）＝（A1∩B1）×（A2∩B2）．
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对于“∪”运算，类似等式不成立．
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3.1 乘积空间
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设（X1，τ1，）和（X2，τ2）是两个拓扑空间．现在要在笛卡儿积X1×X2上规定一个与τ1，τ2密切相关的拓扑τ．具体地说，τ要使j1和j2都连续．并且是满足此要求的最小拓扑．
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在具体给出τ的定义之前，我们先来考察τ应该含有哪些集合？
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