1701041230
1701041231
∀Ui∈τi，由于ji连续，（Ui）∈τ（定理1.1）．若U1∈τ1，U2∈τ2，则
1701041232
1701041233
1701041234
1701041235
1701041236
1701041237
1701041238
1701041239
1701041240
构造X1×X2的子集族＝｛U1×U2｜Ui∈τi｝，则所要构造的拓扑τ包含．根据拓扑公理（2），τ也一定包含，因此τ就是包含的最小拓扑．
1701041241
1701041242
1701041243
命题1.10 是X1×X2上的一个拓扑．
1701041244
1701041245
1701041246
证明 显然满足拓扑公理（1）．
1701041247
1701041248
1701041249
1701041250
1701041251
由的定义看出，中成员的任意并仍在中，因此拓扑公理（2）也满足．下面验证满足拓扑公理（3）．
1701041252
1701041253
1701041254
1701041255
1701041256
1701041257
1701041258
1701041259
设W，要证明∀（x1，x2）∈W∩W′，则（x1，x2）∈W，从而有Ui∈τi（i＝1，2），使得（x1，x2）∈U1×U2⊂W；同样，有使得于是而
1701041260
1701041261
1701041262
1701041263
1701041264
由的定义，公理（3）满足． ▎
1701041265
1701041266
1701041267
命题1.10说明就是我们所要构造的拓扑τ．
1701041268
1701041269
1701041270
1701041271
定义1.10 称为X1×X2上的乘积拓扑，称为（X1，τ1）和（X2，τ2）的乘积空间．简记为X1×X2．
1701041272
1701041273
1701041274
用类似的方法可以规定有限个拓扑空间（Xi，τi）（i＝1，…，n）的乘积空间X1×X2×…×Xn它的拓扑由＝｛U1×U2×…×Un｜Ui∈τi，i＝1，…，n｝所生成，请读者自己验证．
1701041275
1701041276
拓扑空间的“乘积”运算具有结合律，即
1701041277
1701041278
X1×X2×X3＝（X1×X2）×X3＝X1×（X2×X3）．
1701041279