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这里提出了两个有联系的不同概念：集合的拓扑基和拓扑空间的拓扑基．前者只要求是集合X的一个拓扑，而后者要求是X原有的拓扑τ．这两个概念的判断方法也不一样．
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命题1.11 是集合X的拓扑基的充分必要条件是：
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（2）若B1，B2∈，则（也就是∀x∈B1∩B2，存在B∈，使得x∈B⊂B1∩B2）．
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证明 必要性显然．下面证充分性，即当（1）和（2）成立时验证满足拓扑公理．
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的定义蕴涵它满足拓扑公理（2），并且条件（1）说明因此也满足拓扑公理（1）．设U，记其中Bα，∀α，β，则由条件（2），得∀α，β．再由拓扑公理（2），推出于是拓扑公理（3）成立． ▎
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例1 规定R的子集族＝｛［a，b）｜a＜b｝．显然满足命题1．11中条件（1）．任取［a1，b1），［a2，b2），若x∈［a1，b1）∩［a2，b2），记a＝max｛a1，a2｝，b＝min｛b1，b2｝，于是a≤x＜b．则［a，b）∈，并且x∈［a，b）⊂［a1，b1）∩［a2，b2）．因此命题1.11中条件（2）也满足．这样，是R上的一个拓扑基．
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令′＝｛［a，b）｜a＜b，b是有理数｝．则同样可证′是R上的拓扑基．因为′⊂，所以另一方面，不难验证并由此得出这样⊂生成相同的拓扑．一般地，当两个拓扑基生成相同的拓扑时，就称它们是等价的．
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