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命题1.12 是拓扑空间(X,τ)的拓扑基的充分必要条件为:
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(1)⊂τ(即的成员是开集);
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(2)(即每个开集都是中一些成员的并集).
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证明 必要性显然.
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由条件(1)与(2)推出从而是(X,τ)的拓扑基.充分性得证. ▎
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例2 若是(X,τ)的拓扑基,A⊂X.规定A:={A∩B|B∈}.它是A的子集族.显然命题1.12的条件(1)成立.设V是A的开集,则有U∈τ,使V=A∩U.设则V于是A满足命题1.12条件(2).因此A是(A,τA)的拓扑基.
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例3 设R的子集族={(a,b)|a<b,a,b为有理数}.则是E1的拓扑基(请读者自己验证).
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设是拓扑空间X的拓扑基,x∈A⊂X,则A是x的邻域存在B∈,使得x∈B⊂A(请读者自己证明).于是,许多概念可利用拓扑基来刻画.例如:
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x是A的聚点中每个包含x的成员与A{x}有交点;
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中每个包含x的成员与A有交点;
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f:Y→X连续∀B∈,f-1(B)是Y的开集.
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当中成员的形式比较“规范”时(如度量空间中的球形邻域或乘积空间中U1×U2形式的开集),以上概念的检验就往往要方便得多.
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习 题
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