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命题1.12 是拓扑空间（X，τ）的拓扑基的充分必要条件为：
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（1）⊂τ（即的成员是开集）；
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（2）（即每个开集都是中一些成员的并集）．
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证明 必要性显然．
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由条件（1）与（2）推出从而是（X，τ）的拓扑基．充分性得证． ▎
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例2 若是（X，τ）的拓扑基，A⊂X．规定A：＝｛A∩B｜B∈｝．它是A的子集族．显然命题1.12的条件（1）成立．设V是A的开集，则有U∈τ，使V＝A∩U．设则V于是A满足命题1.12条件（2）．因此A是（A，τA）的拓扑基．
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例3 设R的子集族＝｛（a，b）｜a＜b，a，b为有理数｝．则是E1的拓扑基（请读者自己验证）．
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设是拓扑空间X的拓扑基，x∈A⊂X，则A是x的邻域存在B∈，使得x∈B⊂A（请读者自己证明）．于是，许多概念可利用拓扑基来刻画．例如：
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x是A的聚点中每个包含x的成员与A｛x｝有交点；
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中每个包含x的成员与A有交点；
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f：Y→X连续∀B∈，f-1（B）是Y的开集．
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当中成员的形式比较“规范”时（如度量空间中的球形邻域或乘积空间中U1×U2形式的开集），以上概念的检验就往往要方便得多．
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习 题
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