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证明 ．因为ji连续，所以当f连续时，复合映射fi＝jif也连续（i＝1，2）．
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．设Ui∈τi（i＝1，2），则（Ui）都是Y的开集．容易看出f（y）∈U1×U2fi（y）∈Ui（i＝1，2），因此f-1（U1×U2）＝，它是Y的开集．对于X1×X2中一般的开集W，有其中Ui，α∈τi，∀α∈．于是
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也是Y的开集．因此f是连续的． ▎
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对于任何多个拓扑空间的乘积空间（无穷情形用乘积拓扑），定理同样成立．还可证明，X1×X2上使定理能成立的拓扑只有乘积拓扑．
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推论 ∀b∈X2，由x↦（x，b）规定的映射jb：X1→X1×X2是嵌入映射．
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证明 须要验证ib：X1→ib（X1）＝X1×｛b｝是同胚．它显然是一一对应．是j1在X1×｛b｝上的限制，因此是连续的．ib的两个分量分别是恒同映射id：X1→X1和X1到X2的常值映射（把X1映为｛b｝），都是连续的．由定理1.3推出ib是连续的． ▎
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3.3 拓扑基
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乘积拓扑是用一个特定的子集族生成的．这种规定拓扑的方法在度量空间中已经用过．度量空间的开集是球形邻域的并集，也就是说度量空间的球形邻域族生成了度量拓扑．拓扑基就是从以上方法中抽象出的一个一般性概念．
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定义1.11 称集合X的子集族为集合X的拓扑基，如果是X的一个拓扑；称拓扑空间（X，τ）的子集族为这个拓扑空间的拓扑基，如果
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这里提出了两个有联系的不同概念：集合的拓扑基和拓扑空间的拓扑基．前者只要求是集合X的一个拓扑，而后者要求是X原有的拓扑τ．这两个概念的判断方法也不一样．
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命题1.11 是集合X的拓扑基的充分必要条件是：
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（2）若B1，B2∈，则（也就是∀x∈B1∩B2，存在B∈，使得x∈B⊂B1∩B2）．
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证明 必要性显然．下面证充分性，即当（1）和（2）成立时验证满足拓扑公理．
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