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由的定义看出，中成员的任意并仍在中，因此拓扑公理（2）也满足．下面验证满足拓扑公理（3）．
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设W，要证明∀（x1，x2）∈W∩W′，则（x1，x2）∈W，从而有Ui∈τi（i＝1，2），使得（x1，x2）∈U1×U2⊂W；同样，有使得于是而
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由的定义，公理（3）满足． ▎
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命题1.10说明就是我们所要构造的拓扑τ．
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定义1.10 称为X1×X2上的乘积拓扑，称为（X1，τ1）和（X2，τ2）的乘积空间．简记为X1×X2．
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用类似的方法可以规定有限个拓扑空间（Xi，τi）（i＝1，…，n）的乘积空间X1×X2×…×Xn它的拓扑由＝｛U1×U2×…×Un｜Ui∈τi，i＝1，…，n｝所生成，请读者自己验证．
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拓扑空间的“乘积”运算具有结合律，即
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X1×X2×X3＝（X1×X2）×X3＝X1×（X2×X3）．
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无穷多个拓扑空间｛（Xλ，τλ）：λ∈Λ｝的乘积空间的定义要麻烦一些．｛Xλ：λ∈Λ｝的笛卡儿积规定为
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这里记号表示集合族｛Xλ：λ∈Λ｝的无交并（参见第87页）．其上的拓扑通常有两种，它们分别由和且除去有限个λ外，Uλ＝Xλ｝所生成．最常用的是第二种，称为乘积拓扑（或Тихонов拓扑），它保留有限乘积空间的更多的性质．下面我们将只讨论有限乘积空间．
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3.2 乘积空间的性质
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由乘积拓扑的定义直接得到投射ji：X1×X2→Xi的连续性．ji还是开映射（习题3）．设Y是任一拓扑空间，f：Y→X1×X2是一映射．称fi＝jif：Y→Xi（i＝1，2）为f的两个分量（映射）．于是f与它的两个分量互相决定．
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定理1.3 对于任何拓扑空间Y和映射f：Y→X1×X2，f连续f的分量都连续．
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