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1．设A，B分别是X，Y的闭集，证明A×B是乘积空间X×Y的闭集．
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2．设A⊂X，B⊂Y，证明在乘积空间X×Y中，
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（1）
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（2）
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3．证明投射ji：Xi×X2→Xi（i＝1，2）是开映射．
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4．设f：X→Y是连续映射，规定f：X→X×Y为f（x）=（x，f（x）），∀x∈X．证明f是嵌入映射．
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5．设X与Y都是可分空间，证明X×Y也是可分的．
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6．设Ai⊂Xi（i＝1，2）．证明A1×A2作为X1×X2子空间的拓扑就是A1与A2的乘积空间的拓扑．
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7．拓扑空间X到E1的映射称为X上的函数．设f和g都是X上的连续函数，证明f±g和f·g（分别用（f±g）（x）＝f（x）±g（x）和f·g（x）＝f（x）g（x）定义）都是X上的连续函数．
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8．证明＝｛（－∞，a）｜a是有理数｝是R上的拓扑基．写出生成的拓扑．
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9．设R的子集族＝｛［a，b）｜a＜b｝．证明在中，［a，b）既是开集，又是闭集．
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10．设i是拓扑空间（Xi，τi）的拓扑基（i＝1，2）．证明＝｛B1×B2｜Bi∈i｝是乘积空间X1×X2的拓扑基．
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11．设是X的一个覆盖，规定X的子集族＝｛B｜B是中有限个成员的交集｝．证明是集合X的一个拓扑基．（称是的子拓扑基．）
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① E1中的开集就是能表示成开区间的并集的那些子集．
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② ‖x‖表示 En中的点x的范数，即x到原点O的距离．
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③ S2是E3中的单位球面，S2：＝｛（x，y，z）∈E3｜x2＋y2＋z2＝1｝．
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