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例2 若是（X，τ）的拓扑基，A⊂X．规定A：＝｛A∩B｜B∈｝．它是A的子集族．显然命题1.12的条件（1）成立．设V是A的开集，则有U∈τ，使V＝A∩U．设则V于是A满足命题1.12条件（2）．因此A是（A，τA）的拓扑基．
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例3 设R的子集族＝｛（a，b）｜a＜b，a，b为有理数｝．则是E1的拓扑基（请读者自己验证）．
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设是拓扑空间X的拓扑基，x∈A⊂X，则A是x的邻域存在B∈，使得x∈B⊂A（请读者自己证明）．于是，许多概念可利用拓扑基来刻画．例如：
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x是A的聚点中每个包含x的成员与A｛x｝有交点；
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中每个包含x的成员与A有交点；
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f：Y→X连续∀B∈，f-1（B）是Y的开集．
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当中成员的形式比较“规范”时（如度量空间中的球形邻域或乘积空间中U1×U2形式的开集），以上概念的检验就往往要方便得多．
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习 题
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1．设A，B分别是X，Y的闭集，证明A×B是乘积空间X×Y的闭集．
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2．设A⊂X，B⊂Y，证明在乘积空间X×Y中，
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（1）
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（2）
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3．证明投射ji：Xi×X2→Xi（i＝1，2）是开映射．
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4．设f：X→Y是连续映射，规定f：X→X×Y为f（x）=（x，f（x）），∀x∈X．证明f是嵌入映射．
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5．设X与Y都是可分空间，证明X×Y也是可分的．
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6．设Ai⊂Xi（i＝1，2）．证明A1×A2作为X1×X2子空间的拓扑就是A1与A2的乘积空间的拓扑．