1701041450
1701041451
7．拓扑空间X到E1的映射称为X上的函数．设f和g都是X上的连续函数，证明f±g和f·g（分别用（f±g）（x）＝f（x）±g（x）和f·g（x）＝f（x）g（x）定义）都是X上的连续函数．
1701041452
1701041453
1701041454
1701041455
8．证明＝｛（－∞，a）｜a是有理数｝是R上的拓扑基．写出生成的拓扑．
1701041456
1701041457
1701041458
1701041459
9．设R的子集族＝｛［a，b）｜a＜b｝．证明在中，［a，b）既是开集，又是闭集．
1701041460
1701041461
1701041462
1701041463
1701041464
10．设i是拓扑空间（Xi，τi）的拓扑基（i＝1，2）．证明＝｛B1×B2｜Bi∈i｝是乘积空间X1×X2的拓扑基．
1701041465
1701041466
1701041467
1701041468
1701041469
1701041470
1701041471
1701041472
11．设是X的一个覆盖，规定X的子集族＝｛B｜B是中有限个成员的交集｝．证明是集合X的一个拓扑基．（称是的子拓扑基．）
1701041473
1701041474
① E1中的开集就是能表示成开区间的并集的那些子集．
1701041475
1701041476
② ‖x‖表示 En中的点x的范数，即x到原点O的距离．
1701041477
1701041478
③ S2是E3中的单位球面，S2：＝｛（x，y，z）∈E3｜x2＋y2＋z2＝1｝．
1701041479
1701041480
1701041481
1701041482
1701041483
基础拓扑学讲义 [:1701040203]
1701041484
基础拓扑学讲义 第二章 几个重要的拓扑性质
1701041485
1701041486
本章介绍几个常用的拓扑性质：分离性、可数性、紧致性和连通性．前两种性质也可以看作拓扑公理的补充；后两种性质在分析学中已出现过，它们有很强的几何直观性，是拓扑学中最基本的性质．
1701041487
1701041488
基础拓扑学讲义 [:1701040204]
1701041489
§1 分离公理与可数公理
1701041490
1701041491
在第一章中已经看到，欧氏空间和度量空间中有些熟知的性质在一般拓扑空间中可能要失去．这说明拓扑公理只是概括了度量拓扑最基本的性质，而不是全部性质．有时，这种不足会带来不方便．分离性和可数性常作为附加性质，弥补拓扑公理的不足．因此它们本身也被称为公理．有两个可数公理和一系列分离公理．这里介绍这两个可数公理和四个较常用的分离公理：T1，T2，T3和T4公理．
1701041492
1701041493
1.1 T1公理和T2公理
1701041494
1701041495
分离公理都是关于两个点（或闭集）能否用邻域来分隔的性质，是对拓扑空间的附加要求．
1701041496
1701041497
T1公理 任何两个不同点x与y，x有邻域不含y，y有邻域不含x．
1701041498
1701041499
T2公理 任何两个不同点有不相交的邻域．