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（当时，说U是集合A的邻域）．
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如果X满足T1公理，则它的单点集是闭集，因此T3公理推出T2公理，T4公理推出T3公理．然而没有T1公理的前提时，上述关系不成立．例如在（R，τ）（τ＝｛（－∞，a）｜－∞≤a≤＋∞｝）中，任何两个非空闭集都相交．因此若A与B是不相交的闭集，则其中有一为空集，设B＝∅，于是R与∅是它们的不相交邻域．这说明了（R，τ）满足T4公理，而它不满足T1、T2和T3公理（请读者自己检验）．
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命题2.3 度量空间（X，d）满足Ti公理（i＝1，2，3，4）．
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证明 显然（X，d）中单点集（从而有限集）是闭集，因此它满足T1公理．只须再验证它满足T4公理．
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设A，B是不相交闭集，不妨设它们都不是∅．∀x∈X，则d（x，A）＋d（x，B）＞0（见第一章§2习题第12题）．规定X上连续函数f为
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则当x∈A时，f（x）＝0；x∈B时，f（x）＝1．任取实数t∈（0，1），则f-1（（－∞，t））和f-1（（t，＋∞））是A和B的不相交邻域． ▎
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下面是T3，T4公理的另一种描述形式，它们在许多场合用起来更方便．
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命题2.4 （1）满足T3公理任意点x和它的开邻域W，存在x的开邻域U，使得
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（2）满足T4公理任意闭集A和它的开邻域W，有A的开邻域U，使得
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证明 （1）和（2）的证明方法是相同的．下面只给出（2）的证明．
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．设A与B是不相交的闭集，则Bc是A的开邻域．由条件，存在A的开邻域U，记则V是开集，B⊂V，并且U∩V＝∅（见图2-1（a））．
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图2-1
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．记B＝Wc，则A与B为不相交的闭集．由T4公理，存在A与B的不相交的开邻域U与V．则U即为所求（因为，见图2-1（b））． ▎
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许多拓扑书里有正规空间和正则空间的概念，但它们的含义是不统一的．有的书中把满足T4（T3）公理的拓扑空间称为正规（则）空间，而另一些书则还要求满足T1公理．本书中将避开这两个术语．
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1.3 可数公理
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可数公理有两个：第一可数公理和第二可数公理，分别简称C1公理和C2公理（也有称作A1公理和A2公理）．满足Ci公理的拓扑空间称为Ci空间．C2空间也称完全可分空间．
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为了定义C1公理，先要介绍邻域基的概念．