1701041583
1701041584
1701041585
1701041586
1701041587
1701041588
1701041589
1701041590
1701041591
1701041592
设x∈X．把x的所有邻域的集合称为x的邻域系，记作（x）．（x）的一个子集（即x的一族邻域）称为x的一个邻域基，如果x的每个邻域至少包含中的一个成员．例如（x）本身是x的一个邻域基；x的所有开邻域构成x的一个邻域基；若是拓扑空间X的拓扑基，则＝｛B∈｜x∈B｝也是x的邻域基．对于度量空间（X，d），以x为心的全部球形邻域的集合｛B（x，ε）｜ε＜0｝是x的邻域基；｛B（x，q）｜q为正有理数｝和｛B（x，1/n）｜n为自然数｝也都是x的邻域基．
1701041593
1701041594
C1公理 任一点都有可数的邻域基．
1701041595
1701041596
1701041597
1701041598
1701041599
1701041600
1701041601
1701041602
例如度量空间满足C1公理，｛B（x，q）｜q是正有理数｝和｛B（x，1/n）｜n是自然数｝都是x的可数邻域基．（R，τf）不是C1空间．设x∈R，则x的任何可数邻域族都不是x的邻域基（∀U∈都是有限集的余集，因此是可数集，取且y≠x，则∀U∈，y∈U．于是R｛y｝是x的开邻域，它不包含任一U∈．）．
1701041603
1701041604
命题2.5 如果X在x处有可数邻域基，则x有可数邻域基｛Vn｝，使得m＞n时，Vm⊂Vn．
1701041605
1701041606
1701041607
证明 先任取x的一个可数邻域基｛Un｝．规定∀n∈N．则Vn⊂Un，从而｛Vn）也是可数邻域基．显然，m＞n时，Vm⊂Vn． ▎
1701041608
1701041609
1701041610
命题2.6 若X是C1空间，A⊂X，，则A中存在收敛到x的序列．
1701041611
1701041612
1701041613
证明 取x处的可数邻域基｛Vn｝，使得m＞n时，Vm⊂Vn（见命题2.5）．因为x∈，所以Vn∩ A≠∅．取xn∈Vn∩A，∀n，得到A中的序列｛xn｝．任取x的邻域U，则存在n，使Vn⊂U，从而Vm⊂U，∀m≥n．于是xm∈U，∀m≥n．按收敛的定义，有xn→x． ▎
1701041614
1701041615
推论 若X是C1空间，x0∈X，映射f：X→Y满足：当xn→x0时，f（xn）→f（x0），则f在x0连续．
1701041616
1701041617
1701041618
证明 用反证法．如果f在x0不连续，则存在f（x0）的邻域V，使得f-1（V）不是x0的邻域，即根据命题2.6，有（f-1（V））c中序列｛xn｝，xn→x0．由条件，f（xn）→f（x0）．于是，对几乎所有n，f（xn）∈V，xn∈f-1（V），矛盾． ▎
1701041619
1701041620
C2公理 有可数拓扑基．
1701041621
1701041622
这里指拓扑空间X有可数拓扑基．C2公理是一个很强的要求，以至某些度量空间也不是C2空间．例如在R中，规定度量d为
1701041623
1701041624
1701041625
1701041626
1701041627
则（R，d）是离散拓扑空间，任何一点都是开集．于是它的任一拓扑基必须以每个单点集｛x｝为其成员，因此一定是不可数的．
1701041628
1701041629
1701041630
1701041631
C2空间一定也是C1空间．事实上，若X有可数拓扑基，则任意点x有可数邻域基｛B∈｜x∈B｝．
1701041632