1701041583
1701041584
1701041585
1701041586
1701041587
1701041588
1701041589
1701041590
1701041591
1701041592
设x∈X.把x的所有邻域的集合称为x的邻域系,记作(x).(x)的一个子集(即x的一族邻域)称为x的一个邻域基,如果x的每个邻域至少包含中的一个成员.例如(x)本身是x的一个邻域基;x的所有开邻域构成x的一个邻域基;若是拓扑空间X的拓扑基,则={B∈|x∈B}也是x的邻域基.对于度量空间(X,d),以x为心的全部球形邻域的集合{B(x,ε)|ε<0}是x的邻域基;{B(x,q)|q为正有理数}和{B(x,1/n)|n为自然数}也都是x的邻域基.
1701041593
1701041594
C1公理 任一点都有可数的邻域基.
1701041595
1701041596
1701041597
1701041598
1701041599
1701041600
1701041601
1701041602
例如度量空间满足C1公理,{B(x,q)|q是正有理数}和{B(x,1/n)|n是自然数}都是x的可数邻域基.(R,τf)不是C1空间.设x∈R,则x的任何可数邻域族都不是x的邻域基(∀U∈都是有限集的余集,因此是可数集,取且y≠x,则∀U∈,y∈U.于是R{y}是x的开邻域,它不包含任一U∈.).
1701041603
1701041604
命题2.5 如果X在x处有可数邻域基,则x有可数邻域基{Vn},使得m>n时,Vm⊂Vn.
1701041605
1701041606
1701041607
证明 先任取x的一个可数邻域基{Un}.规定∀n∈N.则Vn⊂Un,从而{Vn)也是可数邻域基.显然,m>n时,Vm⊂Vn. ▎
1701041608
1701041609
1701041610
命题2.6 若X是C1空间,A⊂X,,则A中存在收敛到x的序列.
1701041611
1701041612
1701041613
证明 取x处的可数邻域基{Vn},使得m>n时,Vm⊂Vn(见命题2.5).因为x∈,所以Vn∩ A≠∅.取xn∈Vn∩A,∀n,得到A中的序列{xn}.任取x的邻域U,则存在n,使Vn⊂U,从而Vm⊂U,∀m≥n.于是xm∈U,∀m≥n.按收敛的定义,有xn→x. ▎
1701041614
1701041615
推论 若X是C1空间,x0∈X,映射f:X→Y满足:当xn→x0时,f(xn)→f(x0),则f在x0连续.
1701041616
1701041617
1701041618
证明 用反证法.如果f在x0不连续,则存在f(x0)的邻域V,使得f-1(V)不是x0的邻域,即根据命题2.6,有(f-1(V))c中序列{xn},xn→x0.由条件,f(xn)→f(x0).于是,对几乎所有n,f(xn)∈V,xn∈f-1(V),矛盾. ▎
1701041619
1701041620
C2公理 有可数拓扑基.
1701041621
1701041622
这里指拓扑空间X有可数拓扑基.C2公理是一个很强的要求,以至某些度量空间也不是C2空间.例如在R中,规定度量d为
1701041623
1701041624
1701041625
1701041626
1701041627
则(R,d)是离散拓扑空间,任何一点都是开集.于是它的任一拓扑基必须以每个单点集{x}为其成员,因此一定是不可数的.
1701041628
1701041629
1701041630
1701041631
C2空间一定也是C1空间.事实上,若X有可数拓扑基,则任意点x有可数邻域基{B∈|x∈B}.
1701041632
[
上一页 ]
[ :1.701041583e+09 ]
[
下一页 ]