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记,则Un和Vn都是开集,并且∀n,m,Un∩Vm=∅(请读者验证).令则设x∈F,则存在n,使x∈Bn,从而x∈Un⊂U.因此U是F的开邻域,同理V是F′的开邻域.U和V是F和F′的不相交邻域. ▎
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1.4 拓扑性质的遗传性与可乘性
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一种拓扑性质称为有遗传性的,如果一个拓扑空间具有它时,子空间也必具有它;一种拓扑性质称为有可乘性的,如果两个空间都具有它时,它们的乘积空间也具有它.
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例如可分性是可乘的(第一章§3习题5),但没有遗传性(反例见本节习题18).在分离性中,T1,T2和T3公理都有遗传性和可乘性,证明留作习题.T4公理这两种性质都不具有.两个可数公理也都有遗传性和可乘性.
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习 题
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1.称X满足T0公理,如果对X中任意两点,必有一开集只包含其中一点.试举出满足T0公理,不满足T1公理的拓扑空间的例子.
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2.如果X满足T0公理和T3公理,则它也满足T2公理.
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3.设X满足T1公理,证明X中任一子集的导集是闭集.
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4.设X是Hausdorff空间,f:X→X连续,则f的不动点集fixf:={x∈X|f(x)=x}是X的闭子集.
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5.设Y是Hausdorff空间,f:X→Y连续,则f的图像Gf:={(x,f(x))|x∈X}是X×Y的闭子集.
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6.记X×X的对角子集∆:={(x,x)|x∈X}.证明当∆是X×X的闭集时,X是Hausdorff空间.
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7.证明Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间.
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8.证明两个Hausdorff空间的乘积空间也是Hausdorff空间.
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9.设X满足T3公理,F为X的闭子集,证明存在F和x的开邻域U和V,使得
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10.设f:X→Y是满的闭连续映射,X满足T4公理,则Y也满足T4公理.
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11.设f:X→Y是映射,x∈X,是f(x)的一个邻域基.证明:如果∀V∈,f-1(V)是x的邻域,则f在x连续.
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12.证明:如果X是C1空间,并且它的序列最多只能收敛到一个点,则X是Hausdorff空间.
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13.证明T3公理有可乘性和遗传性.
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14.证明C2公理有可乘性和遗传性.
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15.证明可分度量空间的子空间也是可分的.
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16.记={[a,b)|a<b}.证明拓扑空间不是C2空间.
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17.记τ={(-∞,a)|-∞≤a≤+∞}.证明(R,τ)是C2空间,写出它的一个可数拓扑基.
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