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18．记S是全体无理数的集合．在实数集R上规定子集族τ＝｛UA｜U是E1的开集，A⊂S｝．
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（1）验证τ是R上的拓扑；
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（2）验证（R，τ）满足T2公理，但不满足T3公理；
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（3）证明（R，τ）是满足C1公理的可分空间；
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（4）证明τ在S上诱导的子空间拓扑τs是离散拓扑，从而（S，τs）是不可分的；
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（5）说明（R，τ）不满足C2公理．
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基础拓扑学讲义 [:1701040205]
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§2 Урысон引理及其应用
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本节介绍从分离公理和可数公理引出的较深刻的结果．Урысон引理和Tietze扩张定理分别给出T4公理的两个等价条件；度量化定理表明，分离公理和可数公理在改善拓扑空间的性质方面已走得多远．
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2.1 Урысон引理（Urysohn引理）
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定理2.2（Урысон引理） 如果拓扑空间X满足T4公理，则对于X的任意两个不相交闭集A和B，存在X上的连续函数f，它在A和B上分别取值为0和1．
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证明 记QI是［0，1］中的有理数的集合，它是一个可数集．证明分两步．
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（1）用归纳法①构造开集族｛Ur：r∈QI｝，使得
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（i）当r＜r′时，
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（ii）∀r∈QI，A⊂Ur⊂Bc．
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作法如下．将QI随意地排列为｛r1，r2，…｝，只须使r1＝1，r2＝0．然后对n归纳地构造取它是A的开邻域．根据命题2.4，可构造是A的开邻域，
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设已构造，它们满足（i）和（ii）．记ri（n）＝max｛rl｜l≤n，rl＜rn＋1｝，rj（n）＝min｛rl｜l≤n，rl＞rn＋1｝，则ri（n）＜rj（n）．因此作是的开邻域，并且（见图2-3）．容易验证仍满足（i）和（ii）．｛Ur｝的定义完成．
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图2-3
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（2）规定函数f：X→E1为：∀x∈X，