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例如度量空间满足C1公理，｛B（x，q）｜q是正有理数｝和｛B（x，1/n）｜n是自然数｝都是x的可数邻域基．（R，τf）不是C1空间．设x∈R，则x的任何可数邻域族都不是x的邻域基（∀U∈都是有限集的余集，因此是可数集，取且y≠x，则∀U∈，y∈U．于是R｛y｝是x的开邻域，它不包含任一U∈．）．
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命题2.5 如果X在x处有可数邻域基，则x有可数邻域基｛Vn｝，使得m＞n时，Vm⊂Vn．
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证明 先任取x的一个可数邻域基｛Un｝．规定∀n∈N．则Vn⊂Un，从而｛Vn）也是可数邻域基．显然，m＞n时，Vm⊂Vn． ▎
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命题2.6 若X是C1空间，A⊂X，，则A中存在收敛到x的序列．
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证明 取x处的可数邻域基｛Vn｝，使得m＞n时，Vm⊂Vn（见命题2.5）．因为x∈，所以Vn∩ A≠∅．取xn∈Vn∩A，∀n，得到A中的序列｛xn｝．任取x的邻域U，则存在n，使Vn⊂U，从而Vm⊂U，∀m≥n．于是xm∈U，∀m≥n．按收敛的定义，有xn→x． ▎
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推论 若X是C1空间，x0∈X，映射f：X→Y满足：当xn→x0时，f（xn）→f（x0），则f在x0连续．
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证明 用反证法．如果f在x0不连续，则存在f（x0）的邻域V，使得f-1（V）不是x0的邻域，即根据命题2.6，有（f-1（V））c中序列｛xn｝，xn→x0．由条件，f（xn）→f（x0）．于是，对几乎所有n，f（xn）∈V，xn∈f-1（V），矛盾． ▎
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C2公理 有可数拓扑基．
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这里指拓扑空间X有可数拓扑基．C2公理是一个很强的要求，以至某些度量空间也不是C2空间．例如在R中，规定度量d为
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则（R，d）是离散拓扑空间，任何一点都是开集．于是它的任一拓扑基必须以每个单点集｛x｝为其成员，因此一定是不可数的．
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C2空间一定也是C1空间．事实上，若X有可数拓扑基，则任意点x有可数邻域基｛B∈｜x∈B｝．
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C2空间是可分空间．设X有一可数拓扑基｛Bn｝，在每个Bn（除非它是空集）中取一点xn，则集合｛xn｝是X的可数稠密子集．反过来可分空间不一定是C2空间（习题18给出一个可分C1空间，但它不是C2空间）．
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命题2.7 可分度量空间是C2空间．
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证明 设（X，d）是可分度量空间．A是它的一个可数稠密子集．记n为自然数｝，则是一个可数开集族．下面验证是（X，d）的拓扑基，为此只须说明任一开集和∀x∈U，存在a∈A和自然数n，使得x∈B（a，1/n）⊂U．取ε＞0，使得B（x，ε）⊂U．取n＞2/ε，a∈A，使得d（x，a）＜1/n，则x∈B（a，1/n）．若y∈B（a，1/n），则d（a，y）＜1/n．由三角不等式知d（x，y）＜2/n＜ε，从而y∈B（x，ε）．于是B（a，1/n）⊂B（x，ε）⊂U（见图2-2）． ▎
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图2-2
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欧氏空间En是可分的（A＝｛（x1，x2，…，xn）｜∀i，xi为有理数｝是En的可数稠密子集），因此满足C2公理．
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