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命题2.4 （1）满足T3公理任意点x和它的开邻域W，存在x的开邻域U，使得
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（2）满足T4公理任意闭集A和它的开邻域W，有A的开邻域U，使得
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证明 （1）和（2）的证明方法是相同的．下面只给出（2）的证明．
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．设A与B是不相交的闭集，则Bc是A的开邻域．由条件，存在A的开邻域U，记则V是开集，B⊂V，并且U∩V＝∅（见图2-1（a））．
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图2-1
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．记B＝Wc，则A与B为不相交的闭集．由T4公理，存在A与B的不相交的开邻域U与V．则U即为所求（因为，见图2-1（b））． ▎
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许多拓扑书里有正规空间和正则空间的概念，但它们的含义是不统一的．有的书中把满足T4（T3）公理的拓扑空间称为正规（则）空间，而另一些书则还要求满足T1公理．本书中将避开这两个术语．
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1.3 可数公理
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可数公理有两个：第一可数公理和第二可数公理，分别简称C1公理和C2公理（也有称作A1公理和A2公理）．满足Ci公理的拓扑空间称为Ci空间．C2空间也称完全可分空间．
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为了定义C1公理，先要介绍邻域基的概念．
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设x∈X．把x的所有邻域的集合称为x的邻域系，记作（x）．（x）的一个子集（即x的一族邻域）称为x的一个邻域基，如果x的每个邻域至少包含中的一个成员．例如（x）本身是x的一个邻域基；x的所有开邻域构成x的一个邻域基；若是拓扑空间X的拓扑基，则＝｛B∈｜x∈B｝也是x的邻域基．对于度量空间（X，d），以x为心的全部球形邻域的集合｛B（x，ε）｜ε＜0｝是x的邻域基；｛B（x，q）｜q为正有理数｝和｛B（x，1/n）｜n为自然数｝也都是x的邻域基．
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C1公理 任一点都有可数的邻域基．
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