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5．设Y是Hausdorff空间，f：X→Y连续，则f的图像Gf：＝｛（x，f（x））｜x∈X｝是X×Y的闭子集．
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6．记X×X的对角子集∆：＝｛（x，x）｜x∈X｝．证明当∆是X×X的闭集时，X是Hausdorff空间．
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7．证明Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间．
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8．证明两个Hausdorff空间的乘积空间也是Hausdorff空间．
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9．设X满足T3公理，F为X的闭子集，证明存在F和x的开邻域U和V，使得
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10．设f：X→Y是满的闭连续映射，X满足T4公理，则Y也满足T4公理．
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11．设f：X→Y是映射，x∈X，是f（x）的一个邻域基．证明：如果∀V∈，f-1（V）是x的邻域，则f在x连续．
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12．证明：如果X是C1空间，并且它的序列最多只能收敛到一个点，则X是Hausdorff空间．
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13．证明T3公理有可乘性和遗传性．
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14．证明C2公理有可乘性和遗传性．
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15．证明可分度量空间的子空间也是可分的．
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16．记＝｛［a，b）｜a＜b｝．证明拓扑空间不是C2空间．
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17．记τ＝｛（－∞，a）｜－∞≤a≤＋∞｝．证明（R，τ）是C2空间，写出它的一个可数拓扑基．
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18．记S是全体无理数的集合．在实数集R上规定子集族τ＝｛UA｜U是E1的开集，A⊂S｝．
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（1）验证τ是R上的拓扑；
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（2）验证（R，τ）满足T2公理，但不满足T3公理；
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（3）证明（R，τ）是满足C1公理的可分空间；
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（4）证明τ在S上诱导的子空间拓扑τs是离散拓扑，从而（S，τs）是不可分的；
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（5）说明（R，τ）不满足C2公理．
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基础拓扑学讲义 [:1701040205]
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§2 Урысон引理及其应用
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本节介绍从分离公理和可数公理引出的较深刻的结果．Урысон引理和Tietze扩张定理分别给出T4公理的两个等价条件；度量化定理表明，分离公理和可数公理在改善拓扑空间的性质方面已走得多远．
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