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2.1 Урысон引理（Urysohn引理）
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定理2.2（Урысон引理） 如果拓扑空间X满足T4公理，则对于X的任意两个不相交闭集A和B，存在X上的连续函数f，它在A和B上分别取值为0和1．
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证明 记QI是［0，1］中的有理数的集合，它是一个可数集．证明分两步．
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（1）用归纳法①构造开集族｛Ur：r∈QI｝，使得
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（i）当r＜r′时，
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（ii）∀r∈QI，A⊂Ur⊂Bc．
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作法如下．将QI随意地排列为｛r1，r2，…｝，只须使r1＝1，r2＝0．然后对n归纳地构造取它是A的开邻域．根据命题2.4，可构造是A的开邻域，
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设已构造，它们满足（i）和（ii）．记ri（n）＝max｛rl｜l≤n，rl＜rn＋1｝，rj（n）＝min｛rl｜l≤n，rl＞rn＋1｝，则ri（n）＜rj（n）．因此作是的开邻域，并且（见图2-3）．容易验证仍满足（i）和（ii）．｛Ur｝的定义完成．
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图2-3
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（2）规定函数f：X→E1为：∀x∈X，
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这里给出f（x）的两个定义式，如果∀r，则用第一式；如果∀r，x∈Ur，则用第二式；余下的情形，两式的值是相等的．因为A⊂Ur，∀r∈QI，所以f在A上各点的值都为0；类似地，f在B上各点取值1．现在只剩下f连续性的验证了，为此只用说明对任何开区间（a，b），f-1（a，b）是X的开集，即它的每一点都是内点．
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根据f的定义，∀r∈QI，（a）若x∈Ur，则f（x）≤r；（b）若x则f（x）≥r．从f的定义还可看出，0≤f（x）≤1，∀x∈X．
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设x∈f-1（a，b），即a＜f（x）＜b．要证x有开邻域包含在f-1（a，b）中．
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