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如果f（x）≠0，1，则可取r，r′，r″∈QI，使得a＜r′＜r″＜f（x）＜r＜b．由（a）知，从而由（b）知，x∈Ur，因此是x的开邻域．（a）与（b）说明a＜r′≤f（y）≤r＜b，因此
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如果f（x）＝0，则a＜0，取r＜b，则x∈Ur⊂f-1（a，b）．
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如果f（x）＝1，则b＞1，取a＜r′＜r″，则
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∎
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显然，当对于A，B有定理中所说的连续函数时，A，B有不相交的邻域．因此Урьысон引理的结论是T4公理的等价条件．
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2.2 Tietze扩张定理
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分析学中有连续延拓定理②：定义在E1的某个闭集上的有界连续函数可延拓为定义在E1上的连续函数．利用Урьысон引理，可以推广这个定理为Tietze扩张定理．
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定理2.3（Tietze扩张定理） 如果X满足T4公理，则定义在X的闭子集F上的连续函数可连续地扩张到X上．
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证明 我们分两步证明：先对有界连续函数证明，然后推广到一般连续函数．
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（1）设f：F→E1连续，且f（F）⊂［－1，1］．记A＝f-1（［－1，－1/3］），B＝f-1（［1/3，1］），则A，B是F的不相交闭子集．因为F是X的闭集，所以A，B也是X的闭集．用Урьысон引理，可作X上连续函数φ1，使得φ1（X）⊂［－1/3，1/3］，并且φ1在A和B上分别取值－1/3和1/3．令f1＝f－φ1：F→E1，则f1（F）⊂［－2/3，2/3］．用f1替代F，重复以上过程，构造出X上连续函数φ2，使得φ2（X）⊂［－2/9，2/9］，F上的连续函数f2＝f1－φ2＝f－φ1－φ2满足f2（F）⊂［－4/9，4/9］．不断重复以上做法，归纳地作出X上的连续函数序列｛φn｝，使得
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（i）
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（ii）
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根据（i），函数有意义，连续，并且根据（ii），∀x∈F，即是f的扩张．
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（2）设f是F上的连续函数，不一定有界．规定f′：F→E1为∀x∈F，则f′（F）⊂（－1，1）．由（1），有f′的扩张连续，且（X）⊂［－1，1］．记E则E是X的闭集，并且f∩E＝∅．根据Урьысон引理，存在X上的连续函数h，使得h（X）⊂［0，1］，并且h在E和F上分别取值0和1．于是对∀x∈X，（－1，1），因此可规定为
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∀x∈X，
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则连续，并且当x∈F时，因为h（x）＝1，所以
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即是f的扩张． ▎