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基础拓扑学讲义 [:1701040206]
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§3 紧 致 性
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紧致性在分析学中早就出现并有许多应用，然而从本质上讲，它是属于拓扑学范畴的概念，并且是一种最基本、最常见的拓扑性质．
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3.1 紧致与列紧
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在分析学中紧致性（在那里它等价于列紧性）早就显示了它的威力．有界闭区间上的连续函数是有界的，达到它的最大、最小值，并且是一致连续的．在证明这些结论时都用到了同一事实：有界闭区间上的每个序列有收敛的子序列．这种性质后来称为“列紧性”（自列紧），它可以一字不改地推广到一般拓扑空间中．
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定义2.1 拓扑空间称为列紧的，如果它的每个序列有收敛（即有极限点）的子序列．
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模仿分析中的方法，容易证明：
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命题2.9 定义在列紧拓扑空间X上的连续函数f：X→E1有界，并达到最大、最小值．
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刻画闭区间上的同一特性的另一种概念是“紧致性”，虽然它看起来不如列紧性那样自然和直观，但更能体现拓扑特性．在拓扑空间中，序列不是一种好的表达形式，而紧致性所用的开集表达形式，从拓扑观点来看更为自然．第一章§2中已介绍了拓扑空间X的覆盖的概念，它是X的一个子集族，满足如果覆盖中只含有限个子集，就称为有限覆盖．如果的一个子族′⊂本身也构成X的覆盖，就称′是的子覆盖．
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定义2.2 拓扑空间称为紧致的，如果它的每个开覆盖有有限的子覆盖．
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从表面上看，列紧与紧致似乎没有直接的关系，实质上它们是有着紧密联系的．对于度量空间来说，这两种性质是等价的（下面将要证明）．对于一般拓扑空间来说，它们并不是等价的，我们只讨论紧致概念．
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按照定义，拓扑空间如果只含有限个点，或它的拓扑是有限的（只有有限个开集），则它是紧致的．（R，τf）是紧致的，因为它的每个开覆盖中必定有非空开集U，U的余集Uc是有限集，取中有限个开集覆盖Uc，它们与U一起构成的一个有限子覆盖．E1不是紧致的，因为可构造它的一个开覆盖，没有有限子覆盖，譬如＝｛（－∞，a）｜a∈R｝．
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3.2 紧致度量空间
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现在证明对于度量空间，列紧与紧致是等价的．
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命题2.10 紧致C1空间是列紧的．
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证明 设｛xn｝是紧致C1空间X的一个序列，要证明它有收敛的子序列．分两步进行．
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（1）用紧致性证明存在点x∈X，它的任一邻域都含有｛xn｝的无穷多项．用反证法．否则，∀x∈X，可找到x的开邻域Ux，它只含｛xn｝的有限项．于是｛Ux｜x∈X｝是X的开覆盖，但是｛xn｝不能被它的任一有限子族盖住，因此它不存在有限子覆盖．这与X紧致矛盾．
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