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§3 紧 致 性
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紧致性在分析学中早就出现并有许多应用,然而从本质上讲,它是属于拓扑学范畴的概念,并且是一种最基本、最常见的拓扑性质.
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3.1 紧致与列紧
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在分析学中紧致性(在那里它等价于列紧性)早就显示了它的威力.有界闭区间上的连续函数是有界的,达到它的最大、最小值,并且是一致连续的.在证明这些结论时都用到了同一事实:有界闭区间上的每个序列有收敛的子序列.这种性质后来称为“列紧性”(自列紧),它可以一字不改地推广到一般拓扑空间中.
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定义2.1 拓扑空间称为列紧的,如果它的每个序列有收敛(即有极限点)的子序列.
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模仿分析中的方法,容易证明:
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命题2.9 定义在列紧拓扑空间X上的连续函数f:X→E1有界,并达到最大、最小值.
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刻画闭区间上的同一特性的另一种概念是“紧致性”,虽然它看起来不如列紧性那样自然和直观,但更能体现拓扑特性.在拓扑空间中,序列不是一种好的表达形式,而紧致性所用的开集表达形式,从拓扑观点来看更为自然.第一章§2中已介绍了拓扑空间X的覆盖的概念,它是X的一个子集族,满足如果覆盖中只含有限个子集,就称为有限覆盖.如果的一个子族′⊂本身也构成X的覆盖,就称′是的子覆盖.
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定义2.2 拓扑空间称为紧致的,如果它的每个开覆盖有有限的子覆盖.
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从表面上看,列紧与紧致似乎没有直接的关系,实质上它们是有着紧密联系的.对于度量空间来说,这两种性质是等价的(下面将要证明).对于一般拓扑空间来说,它们并不是等价的,我们只讨论紧致概念.
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按照定义,拓扑空间如果只含有限个点,或它的拓扑是有限的(只有有限个开集),则它是紧致的.(R,τf)是紧致的,因为它的每个开覆盖中必定有非空开集U,U的余集Uc是有限集,取中有限个开集覆盖Uc,它们与U一起构成的一个有限子覆盖.E1不是紧致的,因为可构造它的一个开覆盖,没有有限子覆盖,譬如={(-∞,a)|a∈R}.
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3.2 紧致度量空间
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现在证明对于度量空间,列紧与紧致是等价的.
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命题2.10 紧致C1空间是列紧的.
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证明 设{xn}是紧致C1空间X的一个序列,要证明它有收敛的子序列.分两步进行.
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(1)用紧致性证明存在点x∈X,它的任一邻域都含有{xn}的无穷多项.用反证法.否则,∀x∈X,可找到x的开邻域Ux,它只含{xn}的有限项.于是{Ux|x∈X}是X的开覆盖,但是{xn}不能被它的任一有限子族盖住,因此它不存在有限子覆盖.这与X紧致矛盾.
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