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f是单的．事实上，根据T1公理，当x≠y时，必有使得再由T4公理（｛x｝是闭集）存在B∈，使得x∈B，设B与是典型对πn，则fn（x）＝0，fn（y）＝1，从而f（x）≠f（y）．
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由于X与Eω都是C1空间，连续性可用序列语言描述．因此要证f是嵌入只要验证：对任一序列｛xk｝，
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xk→xf（xk）→f（x）．
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．∀ε＞0，取N充分大，使得
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根据f1，f2，…，fN的连续性和xk→x，取K充分大，使得k＞K，i≤N时于是当k＞K时，
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因此f（xk）→f（x）．
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．只须证明xk↛x时f（xk）↛f（x）．取x的开邻域使得对无穷多个k，取B∈，使得x∈B，B与构成典型对πn．于是对无穷多个k，fn（xk）－fn（x）＝1，从而ρ（f（xk），f（x））≥1/n．因此f（xk）↛f（x）． ▎
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定理的条件就是要求X满足§1中所定义的所有分离公理和可数公理．作为推论，得到：当X满足T1－T4和C1、C2所有这6个公理时，它一定可度量化．容易看出满足这6个公理并不是可度量化的必要条件（度量空间未必是C2空间）．然而，由于Eω是C2空间，满足6个公理对于嵌入Eω来说则是充分必要的．
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习 题
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1．证明Урьысон引理证明中定义的函数f满足
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2．设X满足T4公理，A是X的闭子集，则连续映射f：A→En可扩张到X上．
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3．拓扑空间Y的子集B称为Y的一个收缩核，如果存在连续映射r：Y→B，使得∀x∈B，r（x）＝x；称r为Y到B的一个收缩映射．设D是En的收缩核．X满足T4公理，A是X的闭集．证明连续映射f：A→D可扩张到X上．
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4．设（n维球面），X满足T4公理．证明从X的闭集A到Sn的连续映射可扩张到A的一个开邻域上．