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f是单的.事实上,根据T1公理,当x≠y时,必有使得再由T4公理({x}是闭集)存在B∈,使得x∈B,设B与是典型对πn,则fn(x)=0,fn(y)=1,从而f(x)≠f(y).
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由于X与Eω都是C1空间,连续性可用序列语言描述.因此要证f是嵌入只要验证:对任一序列{xk},
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xk→xf(xk)→f(x).
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.∀ε>0,取N充分大,使得
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根据f1,f2,…,fN的连续性和xk→x,取K充分大,使得k>K,i≤N时于是当k>K时,
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因此f(xk)→f(x).
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.只须证明xk↛x时f(xk)↛f(x).取x的开邻域使得对无穷多个k,取B∈,使得x∈B,B与构成典型对πn.于是对无穷多个k,fn(xk)-fn(x)=1,从而ρ(f(xk),f(x))≥1/n.因此f(xk)↛f(x). ▎
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定理的条件就是要求X满足§1中所定义的所有分离公理和可数公理.作为推论,得到:当X满足T1-T4和C1、C2所有这6个公理时,它一定可度量化.容易看出满足这6个公理并不是可度量化的必要条件(度量空间未必是C2空间).然而,由于Eω是C2空间,满足6个公理对于嵌入Eω来说则是充分必要的.
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习 题
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1.证明Урьысон引理证明中定义的函数f满足
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2.设X满足T4公理,A是X的闭子集,则连续映射f:A→En可扩张到X上.
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3.拓扑空间Y的子集B称为Y的一个收缩核,如果存在连续映射r:Y→B,使得∀x∈B,r(x)=x;称r为Y到B的一个收缩映射.设D是En的收缩核.X满足T4公理,A是X的闭集.证明连续映射f:A→D可扩张到X上.
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4.设(n维球面),X满足T4公理.证明从X的闭集A到Sn的连续映射可扩张到A的一个开邻域上.
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