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刻画闭区间上的同一特性的另一种概念是“紧致性”，虽然它看起来不如列紧性那样自然和直观，但更能体现拓扑特性．在拓扑空间中，序列不是一种好的表达形式，而紧致性所用的开集表达形式，从拓扑观点来看更为自然．第一章§2中已介绍了拓扑空间X的覆盖的概念，它是X的一个子集族，满足如果覆盖中只含有限个子集，就称为有限覆盖．如果的一个子族′⊂本身也构成X的覆盖，就称′是的子覆盖．
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定义2.2 拓扑空间称为紧致的，如果它的每个开覆盖有有限的子覆盖．
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从表面上看，列紧与紧致似乎没有直接的关系，实质上它们是有着紧密联系的．对于度量空间来说，这两种性质是等价的（下面将要证明）．对于一般拓扑空间来说，它们并不是等价的，我们只讨论紧致概念．
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按照定义，拓扑空间如果只含有限个点，或它的拓扑是有限的（只有有限个开集），则它是紧致的．（R，τf）是紧致的，因为它的每个开覆盖中必定有非空开集U，U的余集Uc是有限集，取中有限个开集覆盖Uc，它们与U一起构成的一个有限子覆盖．E1不是紧致的，因为可构造它的一个开覆盖，没有有限子覆盖，譬如＝｛（－∞，a）｜a∈R｝．
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3.2 紧致度量空间
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现在证明对于度量空间，列紧与紧致是等价的．
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命题2.10 紧致C1空间是列紧的．
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证明 设｛xn｝是紧致C1空间X的一个序列，要证明它有收敛的子序列．分两步进行．
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（1）用紧致性证明存在点x∈X，它的任一邻域都含有｛xn｝的无穷多项．用反证法．否则，∀x∈X，可找到x的开邻域Ux，它只含｛xn｝的有限项．于是｛Ux｜x∈X｝是X的开覆盖，但是｛xn｝不能被它的任一有限子族盖住，因此它不存在有限子覆盖．这与X紧致矛盾．
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（2）设点x的任一邻域都含｛xn｝的无穷多项．因为X是C1空间，可取x的可数邻域基｛Un｝，使得m＞n时，Um⊂Un．取是｛xn｝包含在Ui中的那些项中的第i个，则ni＋1＞ni，∀i．因此是｛xn｝的子序列．由作法容易证明 ▎
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度量空间满足C1公理，因此紧致度量空间是列紧的．
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逆向的证明要困难得多，还要先引进几个概念．
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度量空间（X，d）的子集A称为X的一个δ-网（δ是一正数），如果∀x∈X，d（x，A）＜δ，即
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命题2.11 对任给δ＞0，列紧度量空间存在有限的δ-网．
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证明 用反证法．否则，∃δ0＞0，对X的任何有限子集A，总可找到点x∈X，使得d（x，A）≥δ0．用归纳法构造X中序列如下：x1任意取定．当前n个x1，x2，…，xn取好后，取xn＋1使d（xn＋1，xi）≥δ0，∀i＝1，…，n．这样得到的序列｛xn｝满足d（xi，xj）≥δ0，∀i≠j，因此它没有收敛的子序列，与列紧性矛盾． ▎
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作为命题2.11的一个应用，得到：列紧度量空间一定是有界的．
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