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根据f1，f2，…，fN的连续性和xk→x，取K充分大，使得k＞K，i≤N时于是当k＞K时，
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因此f（xk）→f（x）．
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．只须证明xk↛x时f（xk）↛f（x）．取x的开邻域使得对无穷多个k，取B∈，使得x∈B，B与构成典型对πn．于是对无穷多个k，fn（xk）－fn（x）＝1，从而ρ（f（xk），f（x））≥1/n．因此f（xk）↛f（x）． ▎
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定理的条件就是要求X满足§1中所定义的所有分离公理和可数公理．作为推论，得到：当X满足T1－T4和C1、C2所有这6个公理时，它一定可度量化．容易看出满足这6个公理并不是可度量化的必要条件（度量空间未必是C2空间）．然而，由于Eω是C2空间，满足6个公理对于嵌入Eω来说则是充分必要的．
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习 题
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1．证明Урьысон引理证明中定义的函数f满足
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2．设X满足T4公理，A是X的闭子集，则连续映射f：A→En可扩张到X上．
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3．拓扑空间Y的子集B称为Y的一个收缩核，如果存在连续映射r：Y→B，使得∀x∈B，r（x）＝x；称r为Y到B的一个收缩映射．设D是En的收缩核．X满足T4公理，A是X的闭集．证明连续映射f：A→D可扩张到X上．
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4．设（n维球面），X满足T4公理．证明从X的闭集A到Sn的连续映射可扩张到A的一个开邻域上．
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基础拓扑学讲义 [:1701040206]
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§3 紧 致 性
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紧致性在分析学中早就出现并有许多应用，然而从本质上讲，它是属于拓扑学范畴的概念，并且是一种最基本、最常见的拓扑性质．
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3.1 紧致与列紧
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在分析学中紧致性（在那里它等价于列紧性）早就显示了它的威力．有界闭区间上的连续函数是有界的，达到它的最大、最小值，并且是一致连续的．在证明这些结论时都用到了同一事实：有界闭区间上的每个序列有收敛的子序列．这种性质后来称为“列紧性”（自列紧），它可以一字不改地推广到一般拓扑空间中．
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定义2.1 拓扑空间称为列紧的，如果它的每个序列有收敛（即有极限点）的子序列．
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模仿分析中的方法，容易证明：
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命题2.9 定义在列紧拓扑空间X上的连续函数f：X→E1有界，并达到最大、最小值．
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