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（1）用紧致性证明存在点x∈X，它的任一邻域都含有｛xn｝的无穷多项．用反证法．否则，∀x∈X，可找到x的开邻域Ux，它只含｛xn｝的有限项．于是｛Ux｜x∈X｝是X的开覆盖，但是｛xn｝不能被它的任一有限子族盖住，因此它不存在有限子覆盖．这与X紧致矛盾．
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（2）设点x的任一邻域都含｛xn｝的无穷多项．因为X是C1空间，可取x的可数邻域基｛Un｝，使得m＞n时，Um⊂Un．取是｛xn｝包含在Ui中的那些项中的第i个，则ni＋1＞ni，∀i．因此是｛xn｝的子序列．由作法容易证明 ▎
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度量空间满足C1公理，因此紧致度量空间是列紧的．
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逆向的证明要困难得多，还要先引进几个概念．
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度量空间（X，d）的子集A称为X的一个δ-网（δ是一正数），如果∀x∈X，d（x，A）＜δ，即
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命题2.11 对任给δ＞0，列紧度量空间存在有限的δ-网．
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证明 用反证法．否则，∃δ0＞0，对X的任何有限子集A，总可找到点x∈X，使得d（x，A）≥δ0．用归纳法构造X中序列如下：x1任意取定．当前n个x1，x2，…，xn取好后，取xn＋1使d（xn＋1，xi）≥δ0，∀i＝1，…，n．这样得到的序列｛xn｝满足d（xi，xj）≥δ0，∀i≠j，因此它没有收敛的子序列，与列紧性矛盾． ▎
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作为命题2.11的一个应用，得到：列紧度量空间一定是有界的．
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设是列紧度量空间（X，d）的一个开覆盖，并且规定X上函数φ：X→E1为
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（x）＝sup｛d（x，Uc）｜U∈｝， ∀x∈X．
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因为X是有界的，有M，使得d（x，y）≤M，∀x，y∈X，所以当U≠X时，d（x，Uc）≤M，从而（x）有意义．又由于是开覆盖，存在U∈，使得x∈U，从而（x）≥d（x，Uc）＞0．
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现在验证是连续的．∀x，y∈X，d（y，Uc）＝inf｛d｛y，a）｜a∈Uc｝≤inf｛d（x，y）＋d（x，a）｜a∈Uc｝＝d（x，y）＋d（x，Uc），因此（y）≤d（x，y）＋（x）．对称地，（x）≤d（x，y）＋（y）．这样｜（x）－（y）｜≤d（x，y）．因此容易看出φ连续．
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