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(1)用紧致性证明存在点x∈X,它的任一邻域都含有{xn}的无穷多项.用反证法.否则,∀x∈X,可找到x的开邻域Ux,它只含{xn}的有限项.于是{Ux|x∈X}是X的开覆盖,但是{xn}不能被它的任一有限子族盖住,因此它不存在有限子覆盖.这与X紧致矛盾.
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(2)设点x的任一邻域都含{xn}的无穷多项.因为X是C1空间,可取x的可数邻域基{Un},使得m>n时,Um⊂Un.取是{xn}包含在Ui中的那些项中的第i个,则ni+1>ni,∀i.因此是{xn}的子序列.由作法容易证明 ▎
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度量空间满足C1公理,因此紧致度量空间是列紧的.
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逆向的证明要困难得多,还要先引进几个概念.
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度量空间(X,d)的子集A称为X的一个δ-网(δ是一正数),如果∀x∈X,d(x,A)<δ,即
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命题2.11 对任给δ>0,列紧度量空间存在有限的δ-网.
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证明 用反证法.否则,∃δ0>0,对X的任何有限子集A,总可找到点x∈X,使得d(x,A)≥δ0.用归纳法构造X中序列如下:x1任意取定.当前n个x1,x2,…,xn取好后,取xn+1使d(xn+1,xi)≥δ0,∀i=1,…,n.这样得到的序列{xn}满足d(xi,xj)≥δ0,∀i≠j,因此它没有收敛的子序列,与列紧性矛盾. ▎
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作为命题2.11的一个应用,得到:列紧度量空间一定是有界的.
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设是列紧度量空间(X,d)的一个开覆盖,并且规定X上函数φ:X→E1为
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(x)=sup{d(x,Uc)|U∈}, ∀x∈X.
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因为X是有界的,有M,使得d(x,y)≤M,∀x,y∈X,所以当U≠X时,d(x,Uc)≤M,从而(x)有意义.又由于是开覆盖,存在U∈,使得x∈U,从而(x)≥d(x,Uc)>0.
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现在验证是连续的.∀x,y∈X,d(y,Uc)=inf{d{y,a)|a∈Uc}≤inf{d(x,y)+d(x,a)|a∈Uc}=d(x,y)+d(x,Uc),因此(y)≤d(x,y)+(x).对称地,(x)≤d(x,y)+(y).这样|(x)-(y)|≤d(x,y).因此容易看出φ连续.
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