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定义2.3 设是列紧度量空间（X，d）的一个开覆盖，称函数的最小值为的Lebesgue数，记作L（）．
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命题2.12 L（）是正数；并且当0＜δ＜L（）时，∀x∈X，B（x，δ）必包含在的某个开集U中．
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证明 因为X列紧，所以在某点x0处达到最小值，即L（）＝（x0）＞0．
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∀x∈X，δ＜L（）≤（x），因此存在U∈，使得d（x，Uc）＞δ，从而B（x，δ）⊂U． ▎
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现在可以来证明主要结果了．
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命题2.13 列紧度量空间是紧致的．
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证明 设（X，d）是列紧度量空间．要对它的开覆盖找出有限子覆盖．不妨设中不包含X，从而有Lebesgue数L（）．取正数δ＜L（），令A＝｛a1，a2，…，an｝是X的δ-网（存在性由命题2.11保证）．于是由命题2.12，∀i，有Ui∈，使得B（ai，δ）⊂Ui．于是｛U1，U2，…，Un｝是的一个有限子覆盖．命题得证． ▎
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综合命题2.10和2.13，得到
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定理2.5 若X是度量空间，则X列紧X紧致． ▎
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于是有界闭区间是紧致的．球面Sn和实心球Dn是紧致的．一般地，En的子集A紧致的充分必要条件是A为有界闭集．
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3.3 紧致空间的性质
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下面的讨论中常要涉及到拓扑空间的紧致子集．一个拓扑空间X的子集A如果作为子空间是紧致的，就称为X的紧致子集．这里在概念上并没有提出任何新思想．下面介绍判断一个子集是否紧致的办法，实用中它常常比定义方便些．
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X中一个开集族如果满足则称是A在X中的一个开覆盖（区别于A的开覆盖，后者由A中的开集构成）．
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命题2.14 A是X的紧致子集A在X中的任一开覆盖有有限子覆盖．
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