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7．证明紧致度量空间是可分的，从而是C2空间．
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8．如果X×Y紧致，则X与Y都紧致．
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9．X的子集族称为有核的，如果中任何有限个成员之交非空．证明：X紧致X的任何有核闭集族之交
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10．设A，B分别是X，Y的紧致子集，W是X×Y的开集，并且A×B⊂W．证明A，B分别有开邻域U，V，使得U×V⊂W．
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11．设Y紧致，证明投射j：X×Y→X是闭映射．
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12．设X是Hausdorff空间，则X的任意多个紧致子集之交集也紧致．
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13．如果X满足T3公理，A是X的紧致子集，U是A的邻域．则存在A的邻域V，使得
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14．设X满足T3公理，则X中紧致子集的闭包也紧致．
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15．证明度量空间X紧致的充分必要条件是X上任一连续函数都是有界的．
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16．设f：X→Y是闭映射，并且∀y∈Y，f-1（y）是X的紧致子集．则对于Y的任一紧致子集B，f-1（B）也紧致．
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17．证明局部紧致空间的闭子集也是局部紧致的．
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18．设（X，τ）是非紧致Hausdorff空间．在X中添加一个新元素Ω，所得集合记作X*．规定X*的子集族
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τ*＝τ∪｛X*｝∪｛X*K｜K是X的紧致子集｝．
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（1）验证τ*是X*上的拓扑，且τ*在X上导出的子空间拓扑即τ；
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（2）X是（X*，τ*）的稠密子集；
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（3）（X*，τ*）是紧致的；（称它是（X，τ）的一点紧致化）；
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（4）如果（X，τ）是局部紧致的Hausdorff空间，则（X*，τ*）是Hausdorff空间．
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19．证明En的一点紧致化同胚于Sn．
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基础拓扑学讲义 [:1701040207]
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§4 连 通 性
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普通的几何中图形的“连通”性是一个非常直观的概念，它几乎无须给出数学定义．譬如，谁都知道，在圆锥曲线中，椭圆和抛物线是连通的，而双曲线是不连通的．然而，对于复杂一些的图形，单凭直观就不行了．我们来看一个例子．
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例1 设E2的一个子集X是由A和B两部分构成的（图2-6），其中
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