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设和′都是X的覆盖,如果′的每个成员都包含在的某个成员中,则称′是的加细,如果′还是开覆盖,则称′为的开加细.
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定义2.5 拓扑空间X称为仿紧的,如果X的每个开覆盖都有局部有限的开加细③.
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我们只给出一些论断,不予证明.
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紧致空间是仿紧的.
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仿紧的Hausdoff空间满足T4公理.
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局部紧致,并满足C2公理的Hausdorff空间是仿紧的.从而En是仿紧的.
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度量空间是仿紧空间.
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习 题
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1.证明(R,τf)的任何子集都紧致;证明(R,τc)不紧致.
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2.按以下步骤证明列紧度量空间紧致.
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(1)若X列紧,则每个可数开覆盖有有限子覆盖;
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(2)若X满足C2公理,则X的每个开覆盖有可数子覆盖;
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(3)如果X满足C2公理,则X列紧紧致;
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(4)列紧度量空间满足C2公理,从而紧致.
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3.有限个紧致子集之并集紧致.
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4.设A是度量空间(X,d)的紧致子集,则
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(1)规定A的直径D(A)=sup{d(x,y)|x,y∈A}.证明存在x,y∈A,使得d(x,y)=D(A);
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(2)若则存在y∈A,使得d(x,y)=d(x,A);
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(3)若B是X的闭集,A∩B=∅,则d(A,B)≠0.
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5.证明紧致空间的无穷子集必有聚点(Bolzano-Weierstrass性质).
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6.如果X的每个紧致子集都是闭集,则X的每个序列不会有两个或两个以上的极限点.
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