1701042292
1701042293
11．设Y紧致，证明投射j：X×Y→X是闭映射．
1701042294
1701042295
12．设X是Hausdorff空间，则X的任意多个紧致子集之交集也紧致．
1701042296
1701042297
1701042298
13．如果X满足T3公理，A是X的紧致子集，U是A的邻域．则存在A的邻域V，使得
1701042299
1701042300
14．设X满足T3公理，则X中紧致子集的闭包也紧致．
1701042301
1701042302
15．证明度量空间X紧致的充分必要条件是X上任一连续函数都是有界的．
1701042303
1701042304
16．设f：X→Y是闭映射，并且∀y∈Y，f-1（y）是X的紧致子集．则对于Y的任一紧致子集B，f-1（B）也紧致．
1701042305
1701042306
17．证明局部紧致空间的闭子集也是局部紧致的．
1701042307
1701042308
18．设（X，τ）是非紧致Hausdorff空间．在X中添加一个新元素Ω，所得集合记作X*．规定X*的子集族
1701042309
1701042310
τ*＝τ∪｛X*｝∪｛X*K｜K是X的紧致子集｝．
1701042311
1701042312
（1）验证τ*是X*上的拓扑，且τ*在X上导出的子空间拓扑即τ；
1701042313
1701042314
（2）X是（X*，τ*）的稠密子集；
1701042315
1701042316
（3）（X*，τ*）是紧致的；（称它是（X，τ）的一点紧致化）；
1701042317
1701042318
（4）如果（X，τ）是局部紧致的Hausdorff空间，则（X*，τ*）是Hausdorff空间．
1701042319
1701042320
19．证明En的一点紧致化同胚于Sn．
1701042321
1701042322
基础拓扑学讲义 [:1701040207]
1701042323
§4 连 通 性
1701042324
1701042325
普通的几何中图形的“连通”性是一个非常直观的概念，它几乎无须给出数学定义．譬如，谁都知道，在圆锥曲线中，椭圆和抛物线是连通的，而双曲线是不连通的．然而，对于复杂一些的图形，单凭直观就不行了．我们来看一个例子．
1701042326
1701042327
例1 设E2的一个子集X是由A和B两部分构成的（图2-6），其中
1701042328
1701042329
1701042330
1701042331
1701042332
B＝｛（0，y）｜－1≤y≤1｝．
1701042333
1701042334
单凭直观概念，很难判断X是不是连通的．
1701042335
1701042336
对图形连通性的认识必须深化．现在，我们要把连通性作为拓扑概念给出严格的定义．直观上的连通，可以有两种含义：其一是图形不能分割成互不“粘连”的两部分；其二是图形上任何两点可以用图形上的线连结．在拓扑学中，这两种含义分别抽象成“连通性”和“道路连通性”两个概念．它们分别在本节和下一节中讨论．这是两个不同的概念．例如对于上面给出的空间X，将看到它连通，但并不道路连通．
1701042337
1701042338
1701042339
1701042340
1701042341
图2-6