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4.1 连通性的定义
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从拓扑上解释“空间X分割成互不粘连的两部分A和B”，就是说X＝A∪B，A和B是不相交的非空子集，并且A和B都不包含对方的聚点，也就是说A和B是不相交的闭集（从而也是开集）．于是得到连通的定义：
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定义2.6 拓扑空间X称为连通的，如果它不能分解为两个非空不相交开集的并．
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显然，连通与下面几种说法是等价的：
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X不能分解为两个非空不相交闭集的并；
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X没有既开又闭的非空真子集；
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X的既开又闭的子集只有X与∅．
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例如，（R，τf）是连通的，因为它的任意两个非空开集一定相交；（R，τc）也是连通的．双曲线不连通，它的两支是互不相交的非空闭集．然而，许多直观上连通的空间按照上面的定义来判断并不马上能得出结论，例如E1的连通性和抛物线、椭圆的连通性就是如此．我们常常根据连通的一些性质，从一些已知连通空间来论证其他空间的连通性．E1的连通性是我们的出发点，下面先来证明它．
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设A是E1的非空真闭集，要证A不是开集．不妨设但A中含正数．记a是A中正数的下确界，由于A闭，a∈A，且a＞0．而由（0，a）∩A＝∅推出a不是A的内点，从而A不是开集．这就论证了E1不存在非空的既开又闭的真子集，按定义，E1是连通的．
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4．2 连通空间的性质
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命题2.21 连通空间在连续映射下的像也是连通的．
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证明 设X连通，f：X→Y连续．要证f（X）也连通．不妨设f（X）＝Y（否则考虑连续映射f：X→f（X））．设B是Y的既开又闭的非空子集，则f-1（B）是X的既开又闭子集．f-1（B）是非空的（因为f满），因此从X的连通性知道f-1（B）＝X，从而B＝Y（也是因为f满）．这说明Y的既开又闭非空子集只有Y，按定义，Y连通． ▎
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例2 S1是连通的．
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这是因为有连续映射f：E1→S1，f（x）＝ei2πx，∀x∈E1．f（E1）＝S1，由E1连通，用命题2.21推得S1连通．
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E1上的子集A称为区间，如果当a，b∈A时（a＜b）必有［a，b］⊂A；也就是说A是凸集．
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例3 设A⊂E1，则A连通A是区间．
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证明 ．若A不是区间，则可取到实数a，b，c使得a＜c＜b，并且a，b∈A，而记A1＝A∩（－∞，c），A2＝A∩（c，＋∞），则A＝A1∪A2，A1∩A2＝∅，A1与A2都是A的非空开集，因此A不连通．
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．若A是区间，则A是下列几种形式之一：
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（a，b），［a，b］，［a，b），（a，b］，
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其中a，b分别可取－∞和＋∞，a＜b，对于［a，b］可允许a＝b，此时它为一点．因此连通．由f（x）＝｜x｜给出连续满映射f：E1→［0，＋∞），因此［0，＋∞）连通，从而也连通．规定g：E1→［a，b］为
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