1701042368
例2 S1是连通的.
1701042369
1701042370
这是因为有连续映射f:E1→S1,f(x)=ei2πx,∀x∈E1.f(E1)=S1,由E1连通,用命题2.21推得S1连通.
1701042371
1701042372
E1上的子集A称为区间,如果当a,b∈A时(a<b)必有[a,b]⊂A;也就是说A是凸集.
1701042373
1701042374
1701042375
例3 设A⊂E1,则A连通A是区间.
1701042376
1701042377
1701042378
1701042379
证明 .若A不是区间,则可取到实数a,b,c使得a<c<b,并且a,b∈A,而记A1=A∩(-∞,c),A2=A∩(c,+∞),则A=A1∪A2,A1∩A2=∅,A1与A2都是A的非空开集,因此A不连通.
1701042380
1701042381
1701042382
.若A是区间,则A是下列几种形式之一:
1701042383
1701042384
(a,b),[a,b],[a,b),(a,b],
1701042385
1701042386
1701042387
1701042388
1701042389
其中a,b分别可取-∞和+∞,a<b,对于[a,b]可允许a=b,此时它为一点.因此连通.由f(x)=|x|给出连续满映射f:E1→[0,+∞),因此[0,+∞)连通,从而也连通.规定g:E1→[a,b]为
1701042390
1701042391
1701042392
1701042393
1701042394
则g是连续满映射,因此[a,b]连通. ▎
1701042395
1701042396
推论 连通空间上的连续函数取到一切中间值(即像集是区间).
1701042397
1701042398
证明 设X连通,f:X→E1连续,则f(X)是E1的连通子集.由例3,它是区间. ▎
1701042399
1701042400
引理 若X0是X的既开又闭的子集,A是X的连通子集,则或者A∩X0=∅,或者A⊂X0.
1701042401
1701042402
证明 A∩X0是A的既开又闭子集.由于A连通,则或者A∩X0=∅,或者A∩X0=A,即A⊂X0. ▎
1701042403
1701042404
命题2.22 若X有一个连通的稠密子集,则X连通.
1701042405
1701042406
1701042407
证明 设A是X的连通稠密子集,X0是X的既开又闭子集.如果X0≠∅,则X0∩A≠∅(第一章§1习题15),由引理,A⊂X0.于是从而X0=X.这样,X的既开又闭子集只有∅和X,因此连通. ▎
1701042408
1701042409
1701042410
推论 若A是X的连通子集,则Y连通.
1701042411
1701042412
证明 这是因为在Y中看,A是稠密子集. ▎
1701042413
1701042414
下面用引理推出判断连通的一个常用法则.
1701042415
1701042416
1701042417
[
上一页 ]
[ :1.701042368e+09 ]
[
下一页 ]