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命题2.23 如果X有一个连通覆盖（中每个成员都连通），并且X有一连通子集A，它与中每个成员都相交，则X连通．
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证明 设X0是X的既开又闭子集．要证明X0＝∅或X．
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根据引理，A∩X0＝∅或A⊂X0．如果A∩X0＝∅，则∀U∈，因为U∩A≠∅，所以U⊄X0．由引理，U∩X0＝∅，则如果A⊂X0，则∀U∈，U∩X0⊃U∩A≠∅．由引理，U⊂X0，则X0＝X． ▎
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本节开头的例1中规定的拓扑空间X是连通的．因为是连通的，用命题2.22，X连通．
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例4 E2是连通的．记Bx＝｛（x，y）｜y∈E1｝，∀x∈E1．则｛Bx｜x∈E1｝是E2的连通覆盖．记A＝｛（x，0）｜x∈E1｝，则A连通，A∩Bx≠∅，∀x∈E1．用命题2.23，E2连通．
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用归纳法可推出En连通．
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例5 Sn连通．任取点x∈Sn，则是连通的，显然它是Sn的稠密子集．用命题2.22得出Sn连通．
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定理2.8 连通性是可乘的．
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证明 设X和Y都是连通空间．则｛X×｛y｝｜y∈Y｝是X×Y的连通覆盖．取x∈X，则｛x｝×Y连通，且与每个X×｛y｝都相交．根据命题2.23，X×Y连通． ▎
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4.3 连通分支
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连通分支是研究不连通空间时引出的一个概念．
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定义2.7 拓扑空间X的一个子集称为X的连通分支，如果它是连通的，并且不是X的其他连通子集的真子集．
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当A是X的连通分支时，如果X的子集B⊃A，并且B≠A，则B不连通．因此可以说连通分支就是极大连通子集．
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当X连通时，它只有一个连通分支，就是X自身．
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下面的命题说明连通分支的存在性．
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命题2.24 X的每个非空连通子集包含在唯一的一个连通分支中．
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证明 设A是X的一个非空连通子集．记＝｛F⊂X｜F连通，F∩A≠∅｝，则A⊂Y（因为A∈）．根据命题2.23，Y连通．如果连通子集B⊃Y，则B∩A＝A≠∅，从而B∈，B⊂Y．这说明Y是连通分支．
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如果Y′也是包含A的连通分支，则Y′∈，因而Y′⊂Y．由Y′的极大性，得Y′＝Y．这证明了唯一性． ▎
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