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命题2.23 如果X有一个连通覆盖(中每个成员都连通),并且X有一连通子集A,它与中每个成员都相交,则X连通.
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证明 设X0是X的既开又闭子集.要证明X0=∅或X.
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根据引理,A∩X0=∅或A⊂X0.如果A∩X0=∅,则∀U∈,因为U∩A≠∅,所以U⊄X0.由引理,U∩X0=∅,则如果A⊂X0,则∀U∈,U∩X0⊃U∩A≠∅.由引理,U⊂X0,则X0=X. ▎
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本节开头的例1中规定的拓扑空间X是连通的.因为是连通的,用命题2.22,X连通.
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例4 E2是连通的.记Bx={(x,y)|y∈E1},∀x∈E1.则{Bx|x∈E1}是E2的连通覆盖.记A={(x,0)|x∈E1},则A连通,A∩Bx≠∅,∀x∈E1.用命题2.23,E2连通.
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用归纳法可推出En连通.
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例5 Sn连通.任取点x∈Sn,则是连通的,显然它是Sn的稠密子集.用命题2.22得出Sn连通.
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定理2.8 连通性是可乘的.
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证明 设X和Y都是连通空间.则{X×{y}|y∈Y}是X×Y的连通覆盖.取x∈X,则{x}×Y连通,且与每个X×{y}都相交.根据命题2.23,X×Y连通. ▎
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4.3 连通分支
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连通分支是研究不连通空间时引出的一个概念.
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定义2.7 拓扑空间X的一个子集称为X的连通分支,如果它是连通的,并且不是X的其他连通子集的真子集.
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当A是X的连通分支时,如果X的子集B⊃A,并且B≠A,则B不连通.因此可以说连通分支就是极大连通子集.
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当X连通时,它只有一个连通分支,就是X自身.
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下面的命题说明连通分支的存在性.
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命题2.24 X的每个非空连通子集包含在唯一的一个连通分支中.
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证明 设A是X的一个非空连通子集.记={F⊂X|F连通,F∩A≠∅},则A⊂Y(因为A∈).根据命题2.23,Y连通.如果连通子集B⊃Y,则B∩A=A≠∅,从而B∈,B⊂Y.这说明Y是连通分支.
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如果Y′也是包含A的连通分支,则Y′∈,因而Y′⊂Y.由Y′的极大性,得Y′=Y.这证明了唯一性. ▎
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