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（3）当ab有意义时，有意义，且
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道路概念不仅在定义道路连通时有用，它也是代数拓扑学中一个重要的基本概念，是建立基本群的基础．
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5.2 道路连通空间
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定义2.11 拓扑空间X称为道路连通的，如果∀x，y∈X，存在X中分别以x和y为起点和终点的道路．
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例1 En是道路连通的，一般地若A是En中的凸集（即A满足：对A中任意两点x，y，线段则A是道路连通的．∀x，y∈A，可作道路a为a（t）＝（1－t）x＋ty，∀t∈I．a分别以x，y为起点和终点．
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作为运动，上述道路是从x匀速地走向y．以后对于En中的有方向的直线段、折线段以及圆弧都自然地看作这种匀速道路．如道路是表示像点匀速地从A出发沿折线段走到D的道路．
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例2 §4开头的例1中的X不是道路连通的．下面我们证明：如果X上的道路a的起点a（0）∈B，则a（I）⊂B．从而B中的点不能与A中点用道路连结．
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记J＝a-1（B），它是I的非空闭集，只须再证J是开集，就可从I的连通性推出J＝I，从而a（I）⊂B．设t∈J，则a（t）∈B，不妨设a（t）＝（0，y），y≠－1．这时，§4例7中所定义的U就是a（t）的开邻域（图2-9）．由a的连续性，存在t的邻域W，使得a（W）⊂U．不妨可设W连通（因为I是局部连通的），于是a（W）连通，从而a（W）包含于U的含a（t）的连通分支B｛（0，－1）｝中．这样W⊂J，t是J的内点，J是开集．
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§4中已经说明X是连通的．这个例子说明道路连通与连通是两个不同的概念．下面的命题说明它们的联系．
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图2-9
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命题2.27 道路连通空间一定连通．
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证明 设X道路连通．∀x0，x1∈X，则有X中道路a，使得a（i）＝xi，i＝0，1．于是x0，x1在X的同一连通子集a（I）中，从而它们属于同一连通分支．这样X只有一个连通分支，即X连通． ▎
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道路连通空间也具有连通空间的某些性质．如
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命题2.28 道路连通空间的连续映像是道路连通的．
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证明 设X道路连通，f：X→Y连续．∀y0，y1∈f（X），取xi∈f-1（yi），i＝0，1．由于X道路连通，有道路a，使得a（i）＝xi，i＝0，1．于是fa是f（X）中的道路，且fa（i）＝yi，i＝0，1．这就证明了f（X）是道路连通的． ▎
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道路连通性也是可乘的（本节习题3）．此外，对于道路连通性也有相当于命题2.23的结果（容易从下面对道路连通分支的讨论中推得）．但命题2.22对道路连通不成立．例2中的是道路连通的，但不道路连通．
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5.3 道路连通分支
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在拓扑空间X中，规定它的点之间的一个关系～：若点x与y可用X上的道路连结，则说x与y相关，记作x～y．这是一个等价关系：ex连结x与自己，有自反性；当a连结x与y时，连结y与x，有对称性；如果x～y，y～z，设a从x到y，b从y到z，则a与b可乘，并且ab从x到z，得到传递性．
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定义2.12 拓扑空间在等价关系～下分成的等价类称为X的道路连通分支，简称道路分支．
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按照定义，∀x∈X属于X的唯一道路分支；X的每个道路连通的子集包含在某个道路分支中；X道路连通的充分必要条件是它只有一个道路分支．