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命题2.29 拓扑空间的道路分支是它的极大道路连通子集．
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证明 设A是X的道路分支．先证A道路连通，即∀x0，x1∈A，要构造A上连结x0，x1的道路．由道路分支的定义，存在X上道路a，使得a（i）＝xi，i＝0，1．由于a（I）道路连通（命题2.28），它必含于一道路分支．又因为a（I）与A有交点，所以a（I）⊂A．于是a可看作A上连结x0，x1的道路．
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再证极大性．设A⊂B，B道路连通，则B所在的道路分支就是A，即A＝B．这证明了A的极大性． ▎
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从命题立即可推出，X的每个道路分支都连通，因此必包含在某个连通分支中．于是，X的每个连通分支是一些道路分支的并集．
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5.4 局部道路连通
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类似于局部连通的定义，有局部道路连通的概念．
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定义2.13 拓扑空间X称为局部道路连通的，如果∀x∈X，x的道路连通邻域构成x的邻域基．
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道路连通空间也不一定是局部道路连通的．
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例3 记X是E2的“篦形子集”
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X＝｛（x，y）｜x是有理数，或y＝0｝．
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显然X道路连通，但不是局部道路连通的（请读者自己验证）．
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引理 如果拓扑空间X的每一点x有邻域Ux，使得x与Ux中每一点都可用X上道路连结，则
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（1）X的道路分支都是既开又闭的；
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（2）X的连通分支就是道路分支．
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证明 （1）引理的条件就是∀x∈X有邻域Ux，它与x属同一道路分支，这样x是它所在道路分支的内点，因此每个道路分支是开集．道路分支A的余集Ac是其他道路分支的并集，因此是开集．于是A又是闭的．
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（2）设A是道路分支，B是包含A的连通分支．则A是B的既开又闭的非空子集，从而A＝B． ▎
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局部道路连通空间满足引理的条件，因此有
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定理2.9 局部道路连通空间X的道路分支就是连通分支，它们是既开又闭的；当X连通时，它一定道路连通． ▎
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习 题
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1．证明Sn道路连通（n≥1）．
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2．设A⊂E2，Ac是可数集．证明A道路连通．
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3．证明道路连通性是可乘的．
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4．设X1，X2都是X的开集，且X1∪X2＝X．a是X上的道路，它的两个端点分别在X1，X2中．证明a-1（X1∩X2）非空．
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5．如果X1和X2都是X的开集，X＝X1∪X2，并且X与X1∩X2都道路连通，则X1与X2都道路连通．
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6．第5题中将“X1和X2是X的开集”这条件改为“X1和X2是X的闭集”．证明结论仍成立．
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