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道路连通性也是可乘的(本节习题3).此外,对于道路连通性也有相当于命题2.23的结果(容易从下面对道路连通分支的讨论中推得).但命题2.22对道路连通不成立.例2中的是道路连通的,但不道路连通.
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5.3 道路连通分支
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在拓扑空间X中,规定它的点之间的一个关系~:若点x与y可用X上的道路连结,则说x与y相关,记作x~y.这是一个等价关系:ex连结x与自己,有自反性;当a连结x与y时,连结y与x,有对称性;如果x~y,y~z,设a从x到y,b从y到z,则a与b可乘,并且ab从x到z,得到传递性.
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定义2.12 拓扑空间在等价关系~下分成的等价类称为X的道路连通分支,简称道路分支.
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按照定义,∀x∈X属于X的唯一道路分支;X的每个道路连通的子集包含在某个道路分支中;X道路连通的充分必要条件是它只有一个道路分支.
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命题2.29 拓扑空间的道路分支是它的极大道路连通子集.
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证明 设A是X的道路分支.先证A道路连通,即∀x0,x1∈A,要构造A上连结x0,x1的道路.由道路分支的定义,存在X上道路a,使得a(i)=xi,i=0,1.由于a(I)道路连通(命题2.28),它必含于一道路分支.又因为a(I)与A有交点,所以a(I)⊂A.于是a可看作A上连结x0,x1的道路.
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再证极大性.设A⊂B,B道路连通,则B所在的道路分支就是A,即A=B.这证明了A的极大性. ▎
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从命题立即可推出,X的每个道路分支都连通,因此必包含在某个连通分支中.于是,X的每个连通分支是一些道路分支的并集.
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5.4 局部道路连通
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类似于局部连通的定义,有局部道路连通的概念.
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定义2.13 拓扑空间X称为局部道路连通的,如果∀x∈X,x的道路连通邻域构成x的邻域基.
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道路连通空间也不一定是局部道路连通的.
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例3 记X是E2的“篦形子集”
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X={(x,y)|x是有理数,或y=0}.
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显然X道路连通,但不是局部道路连通的(请读者自己验证).
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引理 如果拓扑空间X的每一点x有邻域Ux,使得x与Ux中每一点都可用X上道路连结,则
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(1)X的道路分支都是既开又闭的;
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(2)X的连通分支就是道路分支.
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证明 (1)引理的条件就是∀x∈X有邻域Ux,它与x属同一道路分支,这样x是它所在道路分支的内点,因此每个道路分支是开集.道路分支A的余集Ac是其他道路分支的并集,因此是开集.于是A又是闭的.
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(2)设A是道路分支,B是包含A的连通分支.则A是B的既开又闭的非空子集,从而A=B. ▎
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局部道路连通空间满足引理的条件,因此有
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定理2.9 局部道路连通空间X的道路分支就是连通分支,它们是既开又闭的;当X连通时,它一定道路连通. ▎
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习 题
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