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1．证明Sn道路连通（n≥1）．
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2．设A⊂E2，Ac是可数集．证明A道路连通．
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3．证明道路连通性是可乘的．
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4．设X1，X2都是X的开集，且X1∪X2＝X．a是X上的道路，它的两个端点分别在X1，X2中．证明a-1（X1∩X2）非空．
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5．如果X1和X2都是X的开集，X＝X1∪X2，并且X与X1∩X2都道路连通，则X1与X2都道路连通．
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6．第5题中将“X1和X2是X的开集”这条件改为“X1和X2是X的闭集”．证明结论仍成立．
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基础拓扑学讲义 [:1701040209]
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§6 拓扑性质与同胚
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在第一章中曾说过，拓扑性质能用来判断拓扑空间的不同胚．现在我们用本章所学的拓扑性质检验我们学过的各种空间．
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在实数集R上，我们已建立了各种拓扑．除离散拓扑和平凡拓扑外，还有欧氏拓扑，τf，τc以及
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τ1＝｛（－∞，a）｜－∞≤a≤＋∞｝，
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在E1，（R，τf），（R，τc），（R，τ1）和（R，τ2）这五个空间中，只有（R，τ1）不满足T1公理，只有（R，τ2）不连通，只有（R，τf）是紧致的，因此它们都不同胚于别的空间．（R，τc）不是Hausdorff空间，区别于E1．因此五个空间两两不同胚．
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利用紧致性，得到有界闭区间［a，b］不同胚于开区间和［0，＋∞）；S1不同胚于E1．
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利用连通性和反证法可得到［0，＋∞）不同胚于E1．否则，设f：［0，＋∞）→E1是同胚映射，则f｜（0，＋∞）：（0，＋∞）→E1｛f（0）｝也是同胚映射，但（0，＋∞）连通，E1｛f（0）｝不连通，与连通是拓扑性质矛盾．
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习 题
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1．证明E1与En（n＞1）不同胚．
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2．证明I与S1不同胚．
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3．若f：S1→E1连续，则f不是单的，也不是满的．
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4．若f：S2→E1连续，则存在t∈E1，使得f-1（t）是不可数集，并且在f（S2）中，原像是可数集的点不多于2个．
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5．证明
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6．证明两条相交直线的并集与一条直线不同胚．
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① 确切地说，是用递归定义原理，而不是普通的归纳法．
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② 参见周民强编著的《实变函数》（第二版，北京大学出版社，1996），第50页定理1.28．
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