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显然X道路连通，但不是局部道路连通的（请读者自己验证）．
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引理 如果拓扑空间X的每一点x有邻域Ux，使得x与Ux中每一点都可用X上道路连结，则
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（1）X的道路分支都是既开又闭的；
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（2）X的连通分支就是道路分支．
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证明 （1）引理的条件就是∀x∈X有邻域Ux，它与x属同一道路分支，这样x是它所在道路分支的内点，因此每个道路分支是开集．道路分支A的余集Ac是其他道路分支的并集，因此是开集．于是A又是闭的．
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（2）设A是道路分支，B是包含A的连通分支．则A是B的既开又闭的非空子集，从而A＝B． ▎
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局部道路连通空间满足引理的条件，因此有
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定理2.9 局部道路连通空间X的道路分支就是连通分支，它们是既开又闭的；当X连通时，它一定道路连通． ▎
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习 题
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1．证明Sn道路连通（n≥1）．
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2．设A⊂E2，Ac是可数集．证明A道路连通．
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3．证明道路连通性是可乘的．
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4．设X1，X2都是X的开集，且X1∪X2＝X．a是X上的道路，它的两个端点分别在X1，X2中．证明a-1（X1∩X2）非空．
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5．如果X1和X2都是X的开集，X＝X1∪X2，并且X与X1∩X2都道路连通，则X1与X2都道路连通．
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6．第5题中将“X1和X2是X的开集”这条件改为“X1和X2是X的闭集”．证明结论仍成立．
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基础拓扑学讲义 [:1701040209]
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§6 拓扑性质与同胚
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在第一章中曾说过，拓扑性质能用来判断拓扑空间的不同胚．现在我们用本章所学的拓扑性质检验我们学过的各种空间．
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在实数集R上，我们已建立了各种拓扑．除离散拓扑和平凡拓扑外，还有欧氏拓扑，τf，τc以及
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τ1＝｛（－∞，a）｜－∞≤a≤＋∞｝，
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在E1，（R，τf），（R，τc），（R，τ1）和（R，τ2）这五个空间中，只有（R，τ1）不满足T1公理，只有（R，τ2）不连通，只有（R，τf）是紧致的，因此它们都不同胚于别的空间．（R，τc）不是Hausdorff空间，区别于E1．因此五个空间两两不同胚．
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利用紧致性，得到有界闭区间［a，b］不同胚于开区间和［0，＋∞）；S1不同胚于E1．
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利用连通性和反证法可得到［0，＋∞）不同胚于E1．否则，设f：［0，＋∞）→E1是同胚映射，则f｜（0，＋∞）：（0，＋∞）→E1｛f（0）｝也是同胚映射，但（0，＋∞）连通，E1｛f（0）｝不连通，与连通是拓扑性质矛盾．
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习 题