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图3-2
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从直观上看，Möbius带与平环有许多不同之处．首先，平环的边界是两条封闭曲线，它们分别由原矩形的上下边将两端点粘合而得到；而制造Möbius带时，原矩形上边的两端与下边两端粘合，连成一条曲线，因此Möbius带的边界是一条封闭曲线．其次，平环是双侧的，Möbius带是单侧的．当然，局面地看，Möbius带上每一点附近的面块有两个侧向，但从整体上看，这两侧是连成一片的，从某一点的一侧在带上移动可以到达该点的另一侧，中间不用翻越边界．在平环上这是做不到的．还有，沿平环的中线割开可将平环分割成两个平环，而沿Möbius带的中线割开得到的还是连通的一条带子（请读者说明这是一个平环）．以上的差别，从直观上说明了平环与Möbius带不同胚．以后会严格证明它们是不同胚的．
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1.2 环面和Klein瓶
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环面和Klein瓶都可以用一截圆柱面（平环）将两个截口互相粘接而得到．
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图3-3
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如果每一直母线段的两端粘合，所得到的是环面（图3-3），两个截口是以相同的方向相粘接的．如果让两个截口方向相反地粘接，则得到Klein瓶（图3-4）．要实现这样的粘接，必须将圆柱面弯曲后，把一端穿过管壁进入管内与另一端相接．在3维空间中这是做不到的，因为在进入管内之处必然要相交．但在4维空间中可以实现（让相交点的第四个坐标不同，从而把它们分开）．
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图3-4
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Klein瓶也是单侧的（图3-4），以后要证明它与环面不同胚．
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环面是一种常见曲面．各种轮胎的表面是环面；圆周绕着与它共面但相离的轴线旋转得到环面（图3-5），称此圆周上的点旋出的圆为纬圆，以轴线为界的半平面与环面的交线称为经圆；S1×S1是环面（§2习题6）．一般地记Tn＝S1×…×S1，称为n维环面．这里讨论的是2维环面T2．
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图3-5
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和平环一样，环面和其他曲面都是一个拓扑等价类中空间的统称．
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1.3 射影平面
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射影平面记作P2，它是射影几何学中的概念．拓扑学中，有几种描述它的方法，其中之一是把圆盘D2（它同胚于矩形面块）的边界S1上每一对对径点（同一直径的两个端点）粘合，得到射影平面（图3-6）．这种粘接直观上就不好理解了，在3维欧氏空间中是做不到的，在4维空间中能实现，但也不好想象．我们将在后面说清楚它．
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图3-6
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用“粘合”方法制造新拓扑空间是拓扑学中常用的一种方法．还有许多更复杂的“粘合”，凭直观是不好接受的．例如，把圆盘D2与I的乘积空间D2×I的一端（子集D2×｛1｝）捏为一点，得到的空间的直观形象是一个圆锥体（图3-7）．如果用一般拓扑空间X代替D2，得到的空间是什么？又如把环面上的一个经圆和一个纬圆捏在一起成一个点，又会得到什么空间？这些问题都不能靠直观来回答．
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图3-7
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从拓扑学的观点来说，需要有一种描述粘合所得到的新空间（不论它在直观上能否接受）的拓扑的方法．这就是下一节要解决的问题．
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