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习 题
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1．如果把矩形带先扭转360°，然后把两侧边粘接，得什么空间（图3-8）
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图3-8
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2．证明：沿Möbius带的中腰线割开，所得空间是平环．
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3．如果先将圆柱面拧180°，再弯曲粘接两截口，得什么空间？（图3-9）
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图3-9
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基础拓扑学讲义 [:1701040212]
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§2 商空间与商映射
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2.1 商空间
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设拓扑空间X上作某种粘合得到新空间．如果把要粘在一起的点称为互相等价的点，X上就有了一个等价关系，每个等价类被粘合为新空间上的一个点．因此新空间的集合就是等价类的集合．一般地，一个集合X上如果有等价关系～，相应的等价类的集合记作X/～，称为X关于～的商集．把X上的点对应到它所在等价类，得到映射p：X→X/～，称为粘合映射．设X已有了拓扑，现在我们来规定X/～上的一个拓扑．
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定义3.1 设（X，τ）是拓扑空间，～是集合X上的一个等价关系．规定商集X/～上的子集族
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则是X/～上的一个拓扑（请读者自己验证），称为τ在～下的商拓扑，称是（X，τ）关于～的商空间．
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以后，我们在不致产生误解的情况下，把简单记作X/～．
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按照定义，X/～的开集也就是在p之下原像是X中开集的那些子集．显然p：X→X/～是连续的；并且，如果集合X/～上另有拓扑τ′使得p连续，则因此是X/～上使得粘合映射p连续的最大的拓扑．
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定理3.1 设X，Y是两个拓扑空间，～是X上的一个等价关系．g：X/～→Y是一映射，则g连续gp连续．
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证明 ．由于p连续，当g连续时，复合映射gp也连续（见右图所示的交换图表）．
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