1701042880
1701042881
（1）f连续；
1701042882
1701042883
（2）f是满的；
1701042884
1701042885
（3）设B⊂Y，如果f-1（B）是X的开集，则B是Y的开集．
1701042886
1701042887
1701042888
注意到f-1（Bc）＝（f-1（B））c，于是，f-1（B）是X的开集f-1（Bc）是X的闭集．由此容易推出（3）等价于：设F⊂Y，如果f-1（F）是X的闭集，则F是Y的闭集．
1701042889
1701042890
1701042891
（1）与（3）合在一起也就是：B是Y的开集f-1（B）是X的开集．当X/～是X的一个商空间时，粘合映射p：X→X/～满足此条件，并且是满映射，因此是商映射．
1701042892
1701042893
分析定理3.1的证明，用到的正好就是p是商映射这个性质．因此定理3.1可以改写为
1701042894
1701042895
1701042896
1701042897
定理3.1a 若f：X→X′是商映射，g：X′→Y是一映射．则g连续gf连续． ▎
1701042898
1701042899
1701042900
1701042901
1701042902
任给映射f：X→Y，规定X中等价关系如下：∀x，x′∈X，若f（x）＝f（x′），则说x与等价，记作
1701042903
1701042904
1701042905
命题3.1 如果f：X→Y是商映射，则
1701042906
1701042907
1701042908
1701042909
1701042910
1701042911
1701042912
证明 记是粘合映射．由的意义显然有一一对应使得gp＝f，等价地g-1f＝p．分别用定理3.1和3.1a，得到g和g-1的连续性．因此g是同胚． ▎
1701042913
1701042914
命题说明，当f：X→Y是商映射时，Y可看作X的一个商空间，而f也就是相应的粘合映射．
1701042915
1701042916
命题3.2 连续的满映射f：X→Y如果还是开映射或闭映射，则它是商映射．
1701042917
1701042918
证明 f已满足（1）和（2）．当f是开映射时，如果f-1（B）是X的开集，则B＝f（f-1（B））（由（2））是Y的开集，因此（3）成立．当f是闭映射时，可类似地证明（3）的等价条件． ▎
1701042919
1701042920
例如，乘积空间X×Y到X的投射j是满的连续开映射，从而它是商映射．（一般来说它不是闭映射．）
1701042921
1701042922
下面是一个实用价值很大的判定商映射的充分条件．
1701042923
1701042924
定理3.2 如果X紧致，Y是Hausdorff空间，则连续满映射f：X→Y一定是商映射．
1701042925
1701042926
证明 设A是X的闭集，则A紧致，从而f（A）紧致．由于Y是Hausdorff空间，f（A）是Y的闭集．于是f是闭映射．再用命题3.2，f是商映射． ▎
1701042927
1701042928
从定义容易看出，单一的商映射就是同胚．于是定理3.2就是定理2.6的推广．它们的证明方法是类似的．
1701042929