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命题3.3 商映射的复合也是商映射．
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证明 设f：X→Y和g：Y→Z都是商映射．gf显然是满的连续映射．设C⊂Z，使得（gf）-1（C）是开集．由f是商映射和f-1（g-1（C））＝（gf）-1（C），得出g-1（C）是开集，再从g是商映射推出C是开集．因此gf满足条件（3）． ▎
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2.3 应用举例
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例1 如图3.10（a）所示粘接矩形的两双对边，得到环面T2．分两步实现粘合．先粘接上下边对a，成一圆柱面，边对b成为它的两个截口．再粘接这两个截口得到T2．两次粘合映射的复合是从矩形到T2的商映射，它恰好实现所要求的粘合．
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类似地，图3.10（b）所示的粘合把矩形变为Klein瓶．
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图3-10
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例2 记S1为D2的边界圆周，则也就是说把D2的边界捏为一点得到球面S2．
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作f：D2→S2为
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则f满、连续，并且D2紧致，S2是Hausdorff空间，从而f是商映射．不难看出，就是实现捏合S1为一点的等价关系．于是，
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图3-11
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例3 把平环X的一条边界上的对径点都粘合，得到Möbius带．
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如图3-11所示，记所得空间为Y，相应的粘合映射为p．X是两个矩形Ⅰ和Ⅱ沿a和b粘接所得商空间．于是Y是Ⅰ和Ⅱ粘接a，b和c三对边所得商空间．如果先沿c把Ⅰ和Ⅱ粘接为一个矩形，再粘接ab（它们已连接起来）边对，得到的是Möbius带，它也是Ⅰ和Ⅱ粘接边对a，b，c所得的商空间．因此Y是Möbius带．
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例4 将三角形两边“同向”地粘接（图3-12）得什么空间？
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图3-12
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类似于例3，先将三角形分割为两个小三角形，沿a将它们粘接为一个矩形，再把分割线b粘接，得到Möbius带．因此所得空间为Möbius带．
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下面讨论射影平面．按射影几何中的定义，E3中的中心直线把就是射影平面．设把的中心为原点O．规定度量ρ（l1，l2）＝l1与l2的夹角．于是射影平面成为度量空间，记作P2．
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