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证明 记是粘合映射．由的意义显然有一一对应使得gp＝f，等价地g-1f＝p．分别用定理3.1和3.1a，得到g和g-1的连续性．因此g是同胚． ▎
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命题说明，当f：X→Y是商映射时，Y可看作X的一个商空间，而f也就是相应的粘合映射．
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命题3.2 连续的满映射f：X→Y如果还是开映射或闭映射，则它是商映射．
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证明 f已满足（1）和（2）．当f是开映射时，如果f-1（B）是X的开集，则B＝f（f-1（B））（由（2））是Y的开集，因此（3）成立．当f是闭映射时，可类似地证明（3）的等价条件． ▎
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例如，乘积空间X×Y到X的投射j是满的连续开映射，从而它是商映射．（一般来说它不是闭映射．）
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下面是一个实用价值很大的判定商映射的充分条件．
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定理3.2 如果X紧致，Y是Hausdorff空间，则连续满映射f：X→Y一定是商映射．
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证明 设A是X的闭集，则A紧致，从而f（A）紧致．由于Y是Hausdorff空间，f（A）是Y的闭集．于是f是闭映射．再用命题3.2，f是商映射． ▎
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从定义容易看出，单一的商映射就是同胚．于是定理3.2就是定理2.6的推广．它们的证明方法是类似的．
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命题3.3 商映射的复合也是商映射．
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证明 设f：X→Y和g：Y→Z都是商映射．gf显然是满的连续映射．设C⊂Z，使得（gf）-1（C）是开集．由f是商映射和f-1（g-1（C））＝（gf）-1（C），得出g-1（C）是开集，再从g是商映射推出C是开集．因此gf满足条件（3）． ▎
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2.3 应用举例
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例1 如图3.10（a）所示粘接矩形的两双对边，得到环面T2．分两步实现粘合．先粘接上下边对a，成一圆柱面，边对b成为它的两个截口．再粘接这两个截口得到T2．两次粘合映射的复合是从矩形到T2的商映射，它恰好实现所要求的粘合．
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类似地，图3.10（b）所示的粘合把矩形变为Klein瓶．
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图3-10
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例2 记S1为D2的边界圆周，则也就是说把D2的边界捏为一点得到球面S2．
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作f：D2→S2为
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则f满、连续，并且D2紧致，S2是Hausdorff空间，从而f是商映射．不难看出，就是实现捏合S1为一点的等价关系．于是，
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