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图3-11
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例3 把平环X的一条边界上的对径点都粘合，得到Möbius带．
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如图3-11所示，记所得空间为Y，相应的粘合映射为p．X是两个矩形Ⅰ和Ⅱ沿a和b粘接所得商空间．于是Y是Ⅰ和Ⅱ粘接a，b和c三对边所得商空间．如果先沿c把Ⅰ和Ⅱ粘接为一个矩形，再粘接ab（它们已连接起来）边对，得到的是Möbius带，它也是Ⅰ和Ⅱ粘接边对a，b，c所得的商空间．因此Y是Möbius带．
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例4 将三角形两边“同向”地粘接（图3-12）得什么空间？
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图3-12
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类似于例3，先将三角形分割为两个小三角形，沿a将它们粘接为一个矩形，再把分割线b粘接，得到Möbius带．因此所得空间为Möbius带．
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下面讨论射影平面．按射影几何中的定义，E3中的中心直线把就是射影平面．设把的中心为原点O．规定度量ρ（l1，l2）＝l1与l2的夹角．于是射影平面成为度量空间，记作P2．
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我们来说明P2的其他几种形式（包括§1中给出的形式）．
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设S2为单位球面．作映射f：S2→P2为：∀x∈S2，f（x）是由x与原点O决定的直线，则f是商映射．就是把S2上的每对对径点看成一个等价类．因此S2上粘合每一对对径点，所得商空间就是P2．
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作g：则fg：D2→P2也是商映射，因此D2上粘合S1的各对对径点得到P2（图3-13）．
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图3-13
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因为矩形同胚于D2，因此如图3-14那样粘接矩形两双对边也得到P2．
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例5 沿边界，将Möbius带与D2粘合在一起，商空间就是P2．
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图3-14
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例3说明Möbius带是平环粘合外边界上对径点所得商空间．因此X是平环的外边界粘合对径点，内边界粘接一圆盘所得空间（图3-15）．如先粘接圆盘，则可看出X是P2．
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图3-15
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*2.4 关于商映射的一个定理
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